對偶錐英文解釋翻譯、對偶錐的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dual cone

分詞翻譯：

對偶的英語翻譯：

【計】 antithetic
【醫】 allelo-

錐的英語翻譯：

awl; prick; wimble
【醫】 cone; drill

專業解析

對偶錐（Dual Cone）是數學優化與凸分析中的核心概念。從漢英詞典角度可定義為：對于給定錐體( K subseteq mathbb{R}^n )，其對偶錐( K^ )是所有滿足内積非負的向量構成的集合，即

$$ K^ = { y in mathbb{R}^n mid y cdot x geq 0, , forall x in K }. $$

這一概念在凸優化理論中用于描述原錐的“互補空間”特性。

關鍵性質與解釋

幾何意義：對偶錐通過内積定義，其元素( y )與原錐( K )中所有向量夾角不超過90度，體現幾何正交性。
自反性：若原錐( K )是閉凸錐，則其對偶錐的對偶錐( K^{} )等于原錐自身，即( K^{} = K )。
常見類型：
- 非負象限錐的對偶錐是其自身。
- 半正定錐的對偶錐仍為半正定錐。

應用場景

對偶錐在拉格朗日對偶、錐規劃（如二階錐規劃、半定規劃）及經濟學均衡模型中起關鍵作用。例如，在優化問題中，對偶錐可用于構造對偶問題的可行域。

參考文獻

Boyd, S. & Vandenberghe, L. Convex Optimization. Cambridge University Press. 鍊接
Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton University Press.
Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. Wiley.

網絡擴展解釋

對偶錐是凸優化和泛函分析中的重要概念，用于描述錐結構之間的對偶關系。以下從定義、數學表達、幾何意義、性質及示例五個方面進行詳細解釋：

1.定義

對偶錐（Dual Cone）又稱極錐，是實線性空間中凸錐的對偶集合。具體來說，若 ( X ) 是實線性空間，( C subseteq X ) 為凸錐，則其對偶錐 ( C^ ) 定義為所有滿足以下條件的線性泛函集合： [ C^ = { y in X^* mid langle x, y rangle geq 0, , forall x in C } ] 其中 ( langle x, y rangle ) 表示 ( x ) 與 ( y ) 的内積（或對偶配對）。

2.數學表達

更一般地，對于任意錐 ( K subseteq mathbb{R}^n )，其對偶錐的數學表達式為： [ K^* = { y in mathbb{R}^n mid x^T y geq 0, , forall x in K } ] 此定義表明，( y ) 需與原錐 ( K ) 中所有向量的内積非負。

3.幾何意義

對偶錐中的向量 ( y ) 可視為原錐 ( K ) 的支撐超平面的法向量（見圖示）。即，若 ( y in K^* )，則超平面 ( { x mid x^T y = 0 } ) 在原點處支撐錐 ( K )，且半空間 ( { x mid x^T y geq 0 } ) 包含 ( K )。

4.核心性質

凸性：即使原錐 ( K ) 非凸，( K^* ) 仍為凸錐。
閉包與對偶性：若 ( K ) 是閉凸錐，則 ( (K^)^ = K )。
包含關系：若 ( K_1 subseteq K_2 )，則 ( K_2^ subseteq K_1^ )。
自對偶性：某些錐（如非負象限、半正定錐）滿足 ( K^* = K )。

5.示例

非負象限：( mathbb{R}^n+ ) 的對偶錐為自身，即 ( (mathbb{R}^n+)^* = mathbb{R}^n_+ )。
半正定錐：半正定矩陣集合 ( S^n+ ) 的對偶錐也是自身，即 ( (S^n+)^* = S^n_+ )。
範數錐：對于範數 ( | cdot | )，範數錐 ( K = { (x, t) in mathbb{R}^n times mathbb{R} mid | x | leq t } ) 的對偶錐由對偶範數定義。

對偶錐通過内積非負性刻畫了原錐的結構特性，在優化理論中用于構建對偶問題，并廣泛應用于二階錐規劃、半定規劃等領域。其核心性質（如凸性、閉包、自對偶性）為分析錐的幾何與代數關系提供了工具。更多完整信息可參考及等來源。