多项式插值公式英文解释翻译、多项式插值公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 polynomial interpolation formula

分词翻译：

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

插值公式的英语翻译：

【计】 interpolation formula

专业解析

多项式插值公式（Polynomial Interpolation Formula）是一种利用多项式函数精确通过给定离散数据点的方法，在数值分析、工程建模和科学计算中应用广泛。以下从汉英词典角度进行详细解释：

一、术语定义

中文术语	英文术语	核心含义
多项式插值	Polynomial Interpolation	通过已知的 ( n+1 ) 个离散点构造一个最高次数为 ( n ) 的多项式函数，使其通过所有给定点。
插值公式	Interpolation Formula	实现插值计算的数学表达式，如拉格朗日公式、牛顿公式等。
插值节点	Interpolation Nodes	给定的已知数据点 ((x_i, y_i))，是构造插值多项式的基础。

二、数学原理

给定 ( n+1 ) 个互异的节点 ((x_0, y_0), (x_1, y_1), ldots, (x_n, y_n))，存在唯一一个次数不超过 ( n ) 的多项式 ( P_n(x) ) 满足： $$ P_n(x_i) = y_i, quad i = 0, 1, ldots, n $$ 拉格朗日插值公式是最常用的表达形式： $$ Pn(x) = sum{i=0}^{n} y_i cdot L_i(x) $$ 其中 ( L_i(x) ) 为拉格朗日基函数： $$ Li(x) = prod{substack{j=0j eq i}}^{n} frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

三、几何意义与应用

多项式插值的本质是寻找一条光滑的代数曲线（多项式函数）穿过所有给定点。其核心应用包括：

数据拟合与预测
在实验数据缺失位置估算函数值，例如气象数据重建。

工程建模
在控制系统设计中近似非线性元件特性。

计算机图形学
生成平滑曲线轨迹（如贝塞尔曲线的基础）。

四、权威参考文献

清华大学数学系《数值分析》课程讲义（定义与公式推导）
Wolfram MathWorld: Polynomial Interpolation（数学性质证明）
NIST Digital Library of Mathematical Functions（工程应用实例）

该公式是数值分析的基础工具，其稳定性与收敛性分析可参考《数值分析》（李庆扬著）第四章。

网络扩展解释

多项式插值公式是数值分析和数学中用于通过已知数据点构造一个经过这些点的多项式的方法。以下是详细解释：

1.基本定义

给定 ( n+1 ) 个互不相同的点 ((x_0, y_0), (x_1, y_1), ldots, (x_n, y_n))，多项式插值的目标是找到一个次数不超过 ( n ) 的多项式 ( P(x) )，使得： $$ P(x_i) = y_i quad text{对所有}i=0,1,ldots,n text{成立}。 $$

2.存在性与唯一性

根据代数基本定理，这样的多项式存在且唯一。这意味着无论用何种方法（如拉格朗日法、牛顿法），最终得到的多项式是相同的。

3.拉格朗日插值公式

最经典的构造方法是拉格朗日插值法，其公式为： $$ P(x) = sum_{i=0}^n y_i cdot L_i(x), $$ 其中 ( L_i(x) ) 是拉格朗日基多项式，定义为： $$ Li(x) = prod{substack{0 leq j leq nj eq i}} frac{x - x_j}{x_i - x_j}。 $$ 每个基多项式 ( L_i(x) ) 满足：

( L_i(x_i) = 1 ),
( L_i(x_j) = 0 )（当 ( j eq i ) 时）。

4.牛顿插值公式

另一种常用方法是牛顿插值法，利用差商（divided differences）递推构造多项式： $$ P(x) = f[x_0] + fx_0,x_1 + cdots + fx_0,ldots,x_ncdots(x-x_{n-1}), $$ 其中 ( f[x_0,ldots,x_k] ) 是差商，可通过递归计算得到。牛顿法的优势在于新增数据点时无需重新计算全部系数。

5.应用与局限性

应用：数值积分、图形学中的曲线拟合、工程计算等。
局限性：高次多项式插值可能出现龙格现象（Runge's phenomenon），即在区间边缘震荡剧烈。此时需改用分段低次插值（如样条插值）。

公式示例（拉格朗日法）

对两点 ((x_0,y_0)) 和 ((x_1,y_1))，一次插值多项式为： $$ P(x) = y_0 cdot frac{x - x_1}{x_0 - x_1} + y_1 cdot frac{x - x_0}{x_1 - x_0}。 $$

这一方法可推广到任意数量的点，但实际计算中需注意效率和数值稳定性。