多項式插值公式英文解釋翻譯、多項式插值公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 polynomial interpolation formula

分詞翻譯：

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

插值公式的英語翻譯：

【計】 interpolation formula

專業解析

多項式插值公式（Polynomial Interpolation Formula）是一種利用多項式函數精确通過給定離散數據點的方法，在數值分析、工程建模和科學計算中應用廣泛。以下從漢英詞典角度進行詳細解釋：

一、術語定義

中文術語	英文術語	核心含義
多項式插值	Polynomial Interpolation	通過已知的 ( n+1 ) 個離散點構造一個最高次數為 ( n ) 的多項式函數，使其通過所有給定點。
插值公式	Interpolation Formula	實現插值計算的數學表達式，如拉格朗日公式、牛頓公式等。
插值節點	Interpolation Nodes	給定的已知數據點 ((x_i, y_i))，是構造插值多項式的基礎。

二、數學原理

給定 ( n+1 ) 個互異的節點 ((x_0, y_0), (x_1, y_1), ldots, (x_n, y_n))，存在唯一一個次數不超過 ( n ) 的多項式 ( P_n(x) ) 滿足： $$ P_n(x_i) = y_i, quad i = 0, 1, ldots, n $$ 拉格朗日插值公式是最常用的表達形式： $$ Pn(x) = sum{i=0}^{n} y_i cdot L_i(x) $$ 其中 ( L_i(x) ) 為拉格朗日基函數： $$ Li(x) = prod{substack{j=0j eq i}}^{n} frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

三、幾何意義與應用

多項式插值的本質是尋找一條光滑的代數曲線（多項式函數）穿過所有給定點。其核心應用包括：

數據拟合與預測
在實驗數據缺失位置估算函數值，例如氣象數據重建。

工程建模
在控制系統設計中近似非線性元件特性。

計算機圖形學
生成平滑曲線軌迹（如貝塞爾曲線的基礎）。

四、權威參考文獻

清華大學數學系《數值分析》課程講義（定義與公式推導）
Wolfram MathWorld: Polynomial Interpolation（數學性質證明）
NIST Digital Library of Mathematical Functions（工程應用實例）

該公式是數值分析的基礎工具，其穩定性與收斂性分析可參考《數值分析》（李慶揚著）第四章。

網絡擴展解釋

多項式插值公式是數值分析和數學中用于通過已知數據點構造一個經過這些點的多項式的方法。以下是詳細解釋：

1.基本定義

給定 ( n+1 ) 個互不相同的點 ((x_0, y_0), (x_1, y_1), ldots, (x_n, y_n))，多項式插值的目标是找到一個次數不超過 ( n ) 的多項式 ( P(x) )，使得： $$ P(x_i) = y_i quad text{對所有}i=0,1,ldots,n text{成立}。 $$

2.存在性與唯一性

根據代數基本定理，這樣的多項式存在且唯一。這意味着無論用何種方法（如拉格朗日法、牛頓法），最終得到的多項式是相同的。

3.拉格朗日插值公式

最經典的構造方法是拉格朗日插值法，其公式為： $$ P(x) = sum_{i=0}^n y_i cdot L_i(x), $$ 其中 ( L_i(x) ) 是拉格朗日基多項式，定義為： $$ Li(x) = prod{substack{0 leq j leq nj eq i}} frac{x - x_j}{x_i - x_j}。 $$ 每個基多項式 ( L_i(x) ) 滿足：

( L_i(x_i) = 1 ),
( L_i(x_j) = 0 )（當 ( j eq i ) 時）。

4.牛頓插值公式

另一種常用方法是牛頓插值法，利用差商（divided differences）遞推構造多項式： $$ P(x) = f[x_0] + fx_0,x_1 + cdots + fx_0,ldots,x_ncdots(x-x_{n-1}), $$ 其中 ( f[x_0,ldots,x_k] ) 是差商，可通過遞歸計算得到。牛頓法的優勢在于新增數據點時無需重新計算全部系數。

5.應用與局限性

應用：數值積分、圖形學中的曲線拟合、工程計算等。
局限性：高次多項式插值可能出現龍格現象（Runge's phenomenon），即在區間邊緣震蕩劇烈。此時需改用分段低次插值（如樣條插值）。

公式示例（拉格朗日法）

對兩點 ((x_0,y_0)) 和 ((x_1,y_1))，一次插值多項式為： $$ P(x) = y_0 cdot frac{x - x_1}{x_0 - x_1} + y_1 cdot frac{x - x_0}{x_1 - x_0}。 $$

這一方法可推廣到任意數量的點，但實際計算中需注意效率和數值穩定性。