英语翻译：

【计】 hemigroup; semigroup

分词翻译：

半的英语翻译：

half; in the middle; semi-
【计】 semi
【医】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【经】 quasi

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

半群（semigroup）是代数学中重要的代数结构，指非空集合S及其上一个满足结合律的二元运算构成的系统，记作(S, ·)。其核心特征包括：

1. 封闭性：对任意a,b∈S，运算结果a·b仍属于S
2. 结合律：对任意a,b,c∈S，满足(a·b)·c = a·(b·c) 与群（group）的区别在于，半群不要求存在单位元或逆元。例如正整数集合在加法运算下构成半群，但若加入零元素则升级为含单位元的幺半群（monoid）。

该概念在计算机科学、自动机理论和泛函分析中均有应用，如形式语言处理与算子半群研究。其英文术语"semigroup"最早由法国数学家J.-A. de Séguier于1904年提出，现已成为国际数学界标准术语。

参考来源：

• Springer数学百科全书中关于抽象代数的定义
• 《IEEE自动控制汇刊》对离散事件系统的代数描述
• 剑桥大学数学系开放课程讲义《代数结构导论》

网络扩展解释

半群（Semigroup）是抽象代数中的一种基本代数结构，其定义如下：

核心定义

一个非空集合 ( S ) 配备一个二元运算 ( cdot )（即 ( S times S to S )），若满足以下条件，则称为半群：

1. 封闭性：对任意 ( a, b in S )，有 ( a cdot b in S )；
2. 结合律：对任意 ( a, b, c in S )，有 ( (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c) )。

关键特性

• 无需单位元：半群不要求存在单位元（即幺元），这是它与幺半群（Monoid）的主要区别。
• 无需逆元：与群（Group）不同，半群不要求每个元素都有逆元。

示例

1. 自然数加法：自然数集合 ( mathbb{N} ) 与加法运算构成半群（但若包含0，则成为幺半群）。
2. 字符串连接：所有非空字符串集合在连接运算下是半群（若包含空字符串则成为幺半群）。
3. 函数复合：集合上的变换函数（如 ( f: X to X )）在复合运算下形成半群。

与其他结构的对比

结构	封闭性	结合律	单位元	逆元
半群	✔️	✔️	❌	❌
幺半群	✔️	✔️	✔️	❌
群	✔️	✔️	✔️	✔️

应用领域

• 计算机科学：自动机理论、形式语言（如正则表达式）。
• 数学：泛函分析（算子半群）、组合数学。
• 物理：描述某些对称性或演化过程。

若需进一步探讨具体半群的性质或实例，可提供更具体的方向。

分类

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