英语翻译：

【计】 full rank

相关词条：

1.nonsingular  

分词翻译：

满的英语翻译：

full; completely; expire; fill; complacent; impletion

秩的英语翻译：

order
【计】 rank

专业解析

在汉英数学词典中，"满秩"对应的英文术语为"full rank"，专指矩阵行秩或列秩达到理论最大值的特殊状态。这一概念在矩阵理论与线性代数中具有核心地位。

从矩阵类型角度分析：

1. 行满秩矩阵（Full Row Rank）：行秩等于列数，典型特征为矩阵各行线性无关，常见于欠定方程组求解。
2. 列满秩矩阵（Full Column Rank）：列秩等于行数，表现为矩阵各列线性无关，多出现在超定方程组场景。
3. 方阵特例：当矩阵为$n×n$方阵时，满秩等价于行列式非零（$det(A) eq 0$），此时矩阵可逆且线性变换为双射。

实际工程应用中，满秩矩阵广泛存在于系统可控性分析、信号处理算法设计及机器学习特征选择等场景。例如在最小二乘法中，设计矩阵的列满秩特性是保证解唯一性的关键条件。

（参考来源：Springer《线性代数及其应用》、Wolfram MathWorld、MIT OpenCourseWare线性代数课程讲义）

网络扩展解释

“满秩”是线性代数中描述矩阵性质的重要概念，具体含义如下：

一、基本定义

矩阵的秩是指其行向量或列向量中极大线性无关组的个数。当矩阵的秩达到其维度允许的最大值时，称为满秩矩阵：

• 对于 ( m times n ) 的矩阵，最大秩为 (min(m,n))
• 例如 ( 3 times 2 ) 矩阵的最大秩是 2

二、分类说明

1. 方阵情况（行数=列数）

   • 当 ( n times n ) 方阵的秩等于 ( n ) 时，称为满秩
   • 此时矩阵可逆（非奇异矩阵），行列式不为零

2. 非方阵情况

   • 行满秩：秩=行数（如 ( 2 times 3 ) 矩阵秩为2）
   • 列满秩：秩=列数（如 ( 3 times 2 ) 矩阵秩为2）

三、重要性质

• 可逆性：满秩方阵必然可逆，存在唯一逆矩阵
• 线性变换特性：
  • 列满秩矩阵对应的线性变换是单射（核空间仅含零向量）
  • 行满秩矩阵对应的线性变换是满射（值域充满目标空间）
• 解的存在性：在方程组 ( Amathbf{x}=mathbf{b} ) 中，若系数矩阵列满秩，则至多有一个解；若行满秩，则至少有一个解

四、应用示例

1. 数据科学：特征矩阵满秩时可避免多重共线性问题
2. 几何变换：3D图形渲染中满秩矩阵保证变换可逆
3. 控制系统：满秩状态矩阵表征系统能控/能观性

注意：判断矩阵是否满秩可通过计算行列式（方阵）、行阶梯形中非零行数，或奇异值分解等方法实现。

分类

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