英語翻譯：

【計】 full rank

相關詞條：

1.nonsingular  

分詞翻譯：

滿的英語翻譯：

full; completely; expire; fill; complacent; impletion

秩的英語翻譯：

order
【計】 rank

專業解析

在漢英數學詞典中，"滿秩"對應的英文術語為"full rank"，專指矩陣行秩或列秩達到理論最大值的特殊狀态。這一概念在矩陣理論與線性代數中具有核心地位。

從矩陣類型角度分析：

1. 行滿秩矩陣（Full Row Rank）：行秩等于列數，典型特征為矩陣各行線性無關，常見于欠定方程組求解。
2. 列滿秩矩陣（Full Column Rank）：列秩等于行數，表現為矩陣各列線性無關，多出現在超定方程組場景。
3. 方陣特例：當矩陣為$n×n$方陣時，滿秩等價于行列式非零（$det(A) eq 0$），此時矩陣可逆且線性變換為雙射。

實際工程應用中，滿秩矩陣廣泛存在于系統可控性分析、信號處理算法設計及機器學習特征選擇等場景。例如在最小二乘法中，設計矩陣的列滿秩特性是保證解唯一性的關鍵條件。

（參考來源：Springer《線性代數及其應用》、Wolfram MathWorld、MIT OpenCourseWare線性代數課程講義）

網絡擴展解釋

“滿秩”是線性代數中描述矩陣性質的重要概念，具體含義如下：

一、基本定義

矩陣的秩是指其行向量或列向量中極大線性無關組的個數。當矩陣的秩達到其維度允許的最大值時，稱為滿秩矩陣：

• 對于 ( m times n ) 的矩陣，最大秩為 (min(m,n))
• 例如 ( 3 times 2 ) 矩陣的最大秩是 2

二、分類說明

1. 方陣情況（行數=列數）

   • 當 ( n times n ) 方陣的秩等于 ( n ) 時，稱為滿秩
   • 此時矩陣可逆（非奇異矩陣），行列式不為零

2. 非方陣情況

   • 行滿秩：秩=行數（如 ( 2 times 3 ) 矩陣秩為2）
   • 列滿秩：秩=列數（如 ( 3 times 2 ) 矩陣秩為2）

三、重要性質

• 可逆性：滿秩方陣必然可逆，存在唯一逆矩陣
• 線性變換特性：
  • 列滿秩矩陣對應的線性變換是單射（核空間僅含零向量）
  • 行滿秩矩陣對應的線性變換是滿射（值域充滿目标空間）
• 解的存在性：在方程組 ( Amathbf{x}=mathbf{b} ) 中，若系數矩陣列滿秩，則至多有一個解；若行滿秩，則至少有一個解

四、應用示例

1. 數據科學：特征矩陣滿秩時可避免多重共線性問題
2. 幾何變換：3D圖形渲染中滿秩矩陣保證變換可逆
3. 控制系統：滿秩狀态矩陣表征系統能控/能觀性

注意：判斷矩陣是否滿秩可通過計算行列式（方陣）、行階梯形中非零行數，或奇異值分解等方法實現。

分類

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