本徵函数英文解释翻译、本徵函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【建】 characeeristic function

分词翻译：

本的英语翻译：

the root of a plant; this
【机】 aetioporphyrin

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

本徵函数（eigenfunction）是数学物理和量子力学中的核心概念，指在特定线性算子作用下仅按标量倍数变化的非零函数。其定义可表述为：若存在标量$lambda$（本徵值），使得线性算子$L$作用在函数$f$上满足$L[f] = lambda f$，则$f$称为算子$L$的本徵函数。

在量子力学中，本徵函数描述系统具有确定能量的状态，例如薛定谔方程$hat{H}psi = Epsi$中的波函数$psi$即为哈密顿算符$hat{H}$的本徵函数（来源：Griffiths《量子力学导论》）。此类函数满足正交性条件： $$ int psi_m^* psin , dx = delta{mn} $$ 在工程领域，本徵函数被用于振动模态分析，例如弦振动方程的解可表示为空间本徵函数的叠加（来源：Arfken《数学物理方法》）。

该概念的英文术语"eigenfunction"源自德语"eigen"，意为"特性"，强调函数与算子之间的固有对应关系。在偏微分方程理论中，本徵函数构成完备正交系，为傅里叶级数展开提供数学基础（来源：Courant《数学物理方法》）。

网络扩展解释

本征函数（又称特征函数）是数学和量子力学中的核心概念，主要用于描述线性算符作用下的特定函数特性。以下是详细解释：

定义与数学表达式

本征函数满足方程：
$$ hat{A} psi = lambda psi $$
其中：

$hat{A}$ 是线性算符（如微分算符、矩阵等）；
$psi$ 是本征函数；
$lambda$ 是本征值（标量常数）。

核心意义

数学角度
- 本征函数是算符作用后仅缩放（比例系数为$lambda$）而形式不变的函数。例如：
  - 导数的本征函数：$frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}$，其中$k$为本征值。
  - 矩阵的本征向量：$Amathbf{v} = lambda mathbf{v}$，$mathbf{v}$为本征向量。
量子力学角度
- 物理量（如能量、动量）对应算符的本征值是可观测的数值，本征函数描述该物理量的确定状态（本征态）。
- 例如，薛定谔方程中能量算符的本征函数对应体系的能量本征态，本征值为能量值。

特性

正交性：不同本征值对应的本征函数通常正交，便于展开任意函数（如傅里叶变换）。
唯一性：本征函数唯一描述算符的特定本征态。
可观测性：在量子力学中，厄米算符的本征值对应实际测量结果。

应用领域

量子力学：求解粒子能级、波函数等。
线性代数：矩阵对角化、数据降维（如PCA）。
工程与信号处理：振动模态分析、微分方程求解。

示例

导数的本征函数：指数函数$f(x)=e^{kx}$是导数算符$frac{d}{dx}$的本征函数，本征值为$k$。
动量算符：在量子力学中，动量算符$hat{p} = -ihbar abla$的本征函数是平面波$e^{imathbf{k}cdotmathbf{r}}$，对应本征值为$hbar k$。

总结来看，本征函数是线性变换中保持“方向”不变的函数，其对应的本征值量化了变换的缩放效应。在物理中，它直接关联可观测量的确定性状态。