本徵函數英文解釋翻譯、本徵函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【建】 characeeristic function

分詞翻譯：

本的英語翻譯：

the root of a plant; this
【機】 aetioporphyrin

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

本徵函數（eigenfunction）是數學物理和量子力學中的核心概念，指在特定線性算子作用下僅按标量倍數變化的非零函數。其定義可表述為：若存在标量$lambda$（本徵值），使得線性算子$L$作用在函數$f$上滿足$L[f] = lambda f$，則$f$稱為算子$L$的本徵函數。

在量子力學中，本徵函數描述系統具有确定能量的狀态，例如薛定谔方程$hat{H}psi = Epsi$中的波函數$psi$即為哈密頓算符$hat{H}$的本徵函數（來源：Griffiths《量子力學導論》）。此類函數滿足正交性條件： $$ int psi_m^* psin , dx = delta{mn} $$ 在工程領域，本徵函數被用于振動模态分析，例如弦振動方程的解可表示為空間本徵函數的疊加（來源：Arfken《數學物理方法》）。

該概念的英文術語"eigenfunction"源自德語"eigen"，意為"特性"，強調函數與算子之間的固有對應關系。在偏微分方程理論中，本徵函數構成完備正交系，為傅裡葉級數展開提供數學基礎（來源：Courant《數學物理方法》）。

網絡擴展解釋

本征函數（又稱特征函數）是數學和量子力學中的核心概念，主要用于描述線性算符作用下的特定函數特性。以下是詳細解釋：

定義與數學表達式

本征函數滿足方程：
$$ hat{A} psi = lambda psi $$
其中：

$hat{A}$ 是線性算符（如微分算符、矩陣等）；
$psi$ 是本征函數；
$lambda$ 是本征值（标量常數）。

核心意義

數學角度
- 本征函數是算符作用後僅縮放（比例系數為$lambda$）而形式不變的函數。例如：
  - 導數的本征函數：$frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}$，其中$k$為本征值。
  - 矩陣的本征向量：$Amathbf{v} = lambda mathbf{v}$，$mathbf{v}$為本征向量。
量子力學角度
- 物理量（如能量、動量）對應算符的本征值是可觀測的數值，本征函數描述該物理量的确定狀态（本征态）。
- 例如，薛定谔方程中能量算符的本征函數對應體系的能量本征态，本征值為能量值。

特性

正交性：不同本征值對應的本征函數通常正交，便于展開任意函數（如傅裡葉變換）。
唯一性：本征函數唯一描述算符的特定本征态。
可觀測性：在量子力學中，厄米算符的本征值對應實際測量結果。

應用領域

量子力學：求解粒子能級、波函數等。
線性代數：矩陣對角化、數據降維（如PCA）。
工程與信號處理：振動模态分析、微分方程求解。

示例

導數的本征函數：指數函數$f(x)=e^{kx}$是導數算符$frac{d}{dx}$的本征函數，本征值為$k$。
動量算符：在量子力學中，動量算符$hat{p} = -ihbar abla$的本征函數是平面波$e^{imathbf{k}cdotmathbf{r}}$，對應本征值為$hbar k$。

總結來看，本征函數是線性變換中保持“方向”不變的函數，其對應的本征值量化了變換的縮放效應。在物理中，它直接關聯可觀測量的确定性狀态。