行列式计算英文解释翻译、行列式计算的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 determinant calculation

分词翻译：

行列的英语翻译：

cavalcade; cortege; range; train

式的英语翻译：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【医】 F.; feature; formula; Ty.; type

计算的英语翻译：

calculate; compute; cast; count; figure up; calculation; computation
【计】 calc; calculating; computing; tallying
【经】 calculate; calculation; computation; computing element; reckon
reckoning

专业解析

行列式（Determinant）是线性代数中用于描述方阵特性的标量值，其计算过程反映了矩阵的可逆性、线性变换的缩放因子等核心性质。从汉英词典角度解析，"行列式"对应英文术语"determinant"，其计算规则基于矩阵元素的排列组合与符号运算。

1. 数学定义与公式对于n阶方阵$A = [a{ij}]$，行列式记为$det(A)$，其计算式为： $$ det(A) = sum{sigma in Sn} text{sgn}(sigma) prod{i=1}^n a_{i,sigma(i)} $$ 其中$S_n$表示n个元素的置换群，$text{sgn}(sigma)$为置换的符号差。该定义源自《高等代数》（高等教育出版社）对行列式的严格数学描述。

2. 实用计算方法

二阶行列式：$begin{vmatrix} a & bc & d end{vmatrix} = ad - bc$
三阶展开式（萨吕法则）：沿第一行展开时满足$det(A)=a{11}M{11}-a{12}M{12}+a{13}M{13}$，其中$M_{ij}$为余子式
分块矩阵法：对分块三角矩阵，行列式等于对角块行列式之积

3. 几何意义与应用行列式的绝对值对应线性变换对空间体积的缩放比例。当$det(A)=0$时，矩阵表示降维变换，这一性质在计算机图形学（如三维建模）和微分方程求解中具有关键作用，相关应用案例可参考《线性代数及其应用》（机械工业出版社）。

4. 特殊矩阵计算特性

对角矩阵行列式等于对角元素乘积
正交矩阵的行列式值为±1
伴随矩阵满足$A cdot text{adj}(A) = det(A)I$，这一关系式在矩阵求逆运算中起重要作用

权威参考资料建议查阅剑桥大学数学系在线课程资源（https://www.maths.cam.ac.uk/）或《数学分析新讲》（北京大学出版社）对行列式理论的系统论述。具体计算实例可参考MIT OpenCourseWare线性代数课程材料。

网络扩展解释

行列式是线性代数中与方阵相关的一个标量值，用于描述矩阵的某些性质。以下是详细解释：

一、定义

行列式是对方阵（行数=列数的矩阵）定义的一种运算，记为 $det(A)$ 或 $|A|$。例如，2×2矩阵： $$ A = begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix} $$ 的行列式为 $det(A) = ad - bc$。

二、计算方法

低阶行列式：
- 二阶：直接计算 $det(A) = a{11}a{22} - a{12}a{21}$。
- 三阶：使用对角线法则或展开式： $$ det(A) = a{11}(a{22}a{33}-a{23}a{32}) - a{12}(a{21}a{33}-a{23}a{31}) + a{13}(a{21}a{32}-a{22}a_{31}) $$
高阶行列式：通过行变换（如化为上三角矩阵后对角线元素相乘）或拉普拉斯展开（按某一行/列展开为余子式的组合）计算。

三、核心应用

判断矩阵可逆性：若 $det(A) eq 0$，则矩阵 $A$ 可逆。
几何意义：2×2行列式对应平面平行四边形的面积，3×3对应三维体积。
解线性方程组：克莱姆法则中用于求解方程组的解。

四、示例

二阶计算： $$ begin{vmatrix} 2 & 3 1 & 4 end{vmatrix} = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 $$

三阶计算（按第一行展开）： $$ begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 3 & 1 & -1 2 & 0 & 4 end{vmatrix} = 1cdotbegin{vmatrix}1&-10&4end{vmatrix} - 0cdotbegin{vmatrix}3&-12&4end{vmatrix} + 2cdotbegin{vmatrix}3&12&0end{vmatrix} = 1(4) + 2(-2) = 0 $$

五、注意事项

仅适用于方阵，非方阵无行列式。
计算复杂度随阶数增长急剧上升（$O(n!)$），实际应用中常通过数值方法优化。

行列式是矩阵理论的基础工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。