行列式計算英文解釋翻譯、行列式計算的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 determinant calculation

分詞翻譯：

行列的英語翻譯：

cavalcade; cortege; range; train

式的英語翻譯：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【醫】 F.; feature; formula; Ty.; type

計算的英語翻譯：

calculate; compute; cast; count; figure up; calculation; computation
【計】 calc; calculating; computing; tallying
【經】 calculate; calculation; computation; computing element; reckon
reckoning

專業解析

行列式（Determinant）是線性代數中用于描述方陣特性的标量值，其計算過程反映了矩陣的可逆性、線性變換的縮放因子等核心性質。從漢英詞典角度解析，"行列式"對應英文術語"determinant"，其計算規則基于矩陣元素的排列組合與符號運算。

1. 數學定義與公式對于n階方陣$A = [a{ij}]$，行列式記為$det(A)$，其計算式為： $$ det(A) = sum{sigma in Sn} text{sgn}(sigma) prod{i=1}^n a_{i,sigma(i)} $$ 其中$S_n$表示n個元素的置換群，$text{sgn}(sigma)$為置換的符號差。該定義源自《高等代數》（高等教育出版社）對行列式的嚴格數學描述。

2. 實用計算方法

二階行列式：$begin{vmatrix} a & bc & d end{vmatrix} = ad - bc$
三階展開式（薩呂法則）：沿第一行展開時滿足$det(A)=a{11}M{11}-a{12}M{12}+a{13}M{13}$，其中$M_{ij}$為餘子式
分塊矩陣法：對分塊三角矩陣，行列式等于對角塊行列式之積

3. 幾何意義與應用行列式的絕對值對應線性變換對空間體積的縮放比例。當$det(A)=0$時，矩陣表示降維變換，這一性質在計算機圖形學（如三維建模）和微分方程求解中具有關鍵作用，相關應用案例可參考《線性代數及其應用》（機械工業出版社）。

4. 特殊矩陣計算特性

對角矩陣行列式等于對角元素乘積
正交矩陣的行列式值為±1
伴隨矩陣滿足$A cdot text{adj}(A) = det(A)I$，這一關系式在矩陣求逆運算中起重要作用

權威參考資料建議查閱劍橋大學數學系線上課程資源（https://www.maths.cam.ac.uk/）或《數學分析新講》（北京大學出版社）對行列式理論的系統論述。具體計算實例可參考MIT OpenCourseWare線性代數課程材料。

網絡擴展解釋

行列式是線性代數中與方陣相關的一個标量值，用于描述矩陣的某些性質。以下是詳細解釋：

一、定義

行列式是對方陣（行數=列數的矩陣）定義的一種運算，記為 $det(A)$ 或 $|A|$。例如，2×2矩陣： $$ A = begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix} $$ 的行列式為 $det(A) = ad - bc$。

二、計算方法

低階行列式：
- 二階：直接計算 $det(A) = a{11}a{22} - a{12}a{21}$。
- 三階：使用對角線法則或展開式： $$ det(A) = a{11}(a{22}a{33}-a{23}a{32}) - a{12}(a{21}a{33}-a{23}a{31}) + a{13}(a{21}a{32}-a{22}a_{31}) $$
高階行列式：通過行變換（如化為上三角矩陣後對角線元素相乘）或拉普拉斯展開（按某一行/列展開為餘子式的組合）計算。

三、核心應用

判斷矩陣可逆性：若 $det(A) eq 0$，則矩陣 $A$ 可逆。
幾何意義：2×2行列式對應平面平行四邊形的面積，3×3對應三維體積。
解線性方程組：克萊姆法則中用于求解方程組的解。

四、示例

二階計算： $$ begin{vmatrix} 2 & 3 1 & 4 end{vmatrix} = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 $$

三階計算（按第一行展開）： $$ begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 3 & 1 & -1 2 & 0 & 4 end{vmatrix} = 1cdotbegin{vmatrix}1&-10&4end{vmatrix} - 0cdotbegin{vmatrix}3&-12&4end{vmatrix} + 2cdotbegin{vmatrix}3&12&0end{vmatrix} = 1(4) + 2(-2) = 0 $$

五、注意事項

僅適用于方陣，非方陣無行列式。
計算複雜度隨階數增長急劇上升（$O(n!)$），實際應用中常通過數值方法優化。

行列式是矩陣理論的基礎工具，廣泛應用于物理、工程和計算機圖形學等領域。