矩阵对策英文解释翻译、矩阵对策的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix games

分词翻译：

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

对策的英语翻译：

countermeasure; countermove
【法】 countermeasure; resource

专业解析

矩阵对策（Matrix Game），在博弈论中特指有限二人零和博弈（Finite Two-Person Zero-Sum Game），是最基础且研究最透彻的博弈模型之一。其核心特征如下：

参与者与策略集
涉及两名参与者（通常称为局中人I与局中人II）。每位局中人拥有有限个纯策略。局中人I有 m 个策略（记为 S₁ = {1, 2, ..., m}），局中人II有 n 个策略（记为 S₂ = {1, 2, ..., n}）。
零和特性
这是关键特征：一方的收益即另一方的损失。若局中人I选择策略 i，局中人II选择策略 j，则局中人I获得收益 aᵢⱼ，同时局中人II获得收益 -aᵢⱼ。双方收益之和恒为零。
收益矩阵表示
博弈的规则完全由一个 m × n 阶的收益矩阵（Payoff Matrix）A 定义： $$ A = begin{pmatrix} a{11} & a{12} & cdots & a{1n} a{21} & a{22} & cdots & a{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a{m1} & a{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} $$ 其中，元素 aᵢⱼ 表示当局中人I选择策略 i、局中人II选择策略 j 时，局中人I所获得的收益（相应地，局中人II的收益为 -aᵢⱼ）。
策略选择与目标
- 局中人I的目标：最大化自己的最小可能收益（即采取极大化极小策略）。
- 局中人II的目标：最小化局中人I的最大可能收益（即采取极小化极大策略）。双方在不知道对方选择的情况下同时做出决策。
解的概念：鞍点与混合策略
- 纯策略鞍点：若存在策略对 (i, j)，使得对所有 i 和 j 都有 *aᵢj ≤ aᵢj ≤ aᵢj，则 (i, j) 是一个纯策略纳什均衡*（即鞍点），值 V = aᵢj** 即为博弈的值。
- 混合策略扩展：当纯策略鞍点不存在时，双方可随机化策略选择（即采用混合策略）。局中人I选择一个概率向量 X = (x₁, x₂, ..., xₘ)（xᵢ ≥ 0, ∑xᵢ = 1）分布在 m 个策略上；局中人II选择概率向量 Y = (y₁, y₂, ..., yₙ)（yⱼ ≥ 0, ∑yⱼ = 1）。此时，局中人I的期望收益为 XᵀAY。
- 混合策略解：冯·诺依曼极小极大定理证明，在混合策略意义下，任何矩阵对策都存在均衡点 (X, Y) 和值 V，满足：
  - 局中人I的极大化极小值： maxₓ minᵧ XᵀAY = V
  - 局中人II的极小化极大值： minᵧ maxₓ XᵀAY = V

权威参考来源：

Myerson, R. B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. Harvard University Press. (经典博弈论教材，对矩阵对策有系统阐述)
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Game Theory" (提供博弈论基础概念的精确定义与框架)
Osborne, M. J., & Rubinstein, A. (1994). A Course in Game Theory. MIT Press. (标准教科书，详细讲解零和博弈与矩阵对策)

网络扩展解释

矩阵对策是博弈论中的一个核心概念，特指两人零和博弈，即两个参与者的利益完全对立，一方的收益等于另一方的损失。其核心特点与解释如下：

1.基本定义

参与者：仅有两个决策者（玩家A和玩家B）。
零和性：A的收益即B的损失，双方收益总和恒为零。
策略与矩阵表示：双方策略组合的收益结果通过一个矩阵（支付矩阵）表示。例如：
- 若A有(m)种策略，B有(n)种策略，则矩阵为(m times n)的表格，元素(a{ij})表示A选策略(i)、B选策略(j)时A的收益（B的收益为(-a{ij})）。

2.解的概念：最小最大定理

纯策略解：若存在某一行(i)和某一列(j)，使得(a_{ij})既是其行的最小值，又是其列的最大值，则称((i,j))为鞍点，对应双方的最优策略。
混合策略解：若无鞍点，双方需以概率分布选择策略（混合策略）。根据冯·诺依曼最小最大定理，存在值(V)使得： [ V = max{x} min{y} x^T A y = min{y} max{x} x^T A y ] 其中(x)和(y)为概率向量，(A)为支付矩阵。

3.求解方法

纯策略：通过寻找鞍点直接确定最优策略。
混合策略：
- 线性规划法：将问题转化为线性规划模型求解。
- 公式法：对2×2矩阵，可通过公式计算概率分布。例如，若矩阵为： [ A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix} ] 则A选择两个策略的概率为(frac{d-c}{(a+d)-(b+c)})和(frac{a-b}{(a+d)-(b+c)})（需分母非零）。

4.应用领域

经济学：分析市场竞争与定价策略。
军事：优化攻防决策。
游戏理论：设计棋类或电子游戏的平衡策略。
人工智能：训练智能体在对抗环境中学习最优策略。

示例

假设支付矩阵为： [ A = begin{pmatrix} 2 & -1 -3 & 4 end{pmatrix} ]

纯策略：无鞍点（第二行最小值-3，第一列最大值2，不重合）。
混合策略解：通过计算，A以概率(frac{4-(-3)}{(2+4)-(-1-3)} = frac{7}{10})选择策略1，B以概率(frac{4-(-1)}{10} = frac{5}{10})选择策略1，博弈值(V = frac{2×4 - (-1)×(-3)}{10} = frac{5}{10})。

矩阵对策通过数学建模揭示了对抗性决策的本质，是分析冲突与合作的基础工具。