矩陣對策英文解釋翻譯、矩陣對策的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix games

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

對策的英語翻譯：

countermeasure; countermove
【法】 countermeasure; resource

專業解析

矩陣對策（Matrix Game），在博弈論中特指有限二人零和博弈（Finite Two-Person Zero-Sum Game），是最基礎且研究最透徹的博弈模型之一。其核心特征如下：

參與者與策略集
涉及兩名參與者（通常稱為局中人I與局中人II）。每位局中人擁有有限個純策略。局中人I有 m 個策略（記為 S₁ = {1, 2, ..., m}），局中人II有 n 個策略（記為 S₂ = {1, 2, ..., n}）。
零和特性
這是關鍵特征：一方的收益即另一方的損失。若局中人I選擇策略 i，局中人II選擇策略 j，則局中人I獲得收益 aᵢⱼ，同時局中人II獲得收益 -aᵢⱼ。雙方收益之和恒為零。
收益矩陣表示
博弈的規則完全由一個 m × n 階的收益矩陣（Payoff Matrix）A 定義： $$ A = begin{pmatrix} a{11} & a{12} & cdots & a{1n} a{21} & a{22} & cdots & a{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a{m1} & a{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} $$ 其中，元素 aᵢⱼ 表示當局中人I選擇策略 i、局中人II選擇策略 j 時，局中人I所獲得的收益（相應地，局中人II的收益為 -aᵢⱼ）。
策略選擇與目标
- 局中人I的目标：最大化自己的最小可能收益（即采取極大化極小策略）。
- 局中人II的目标：最小化局中人I的最大可能收益（即采取極小化極大策略）。雙方在不知道對方選擇的情況下同時做出決策。
解的概念：鞍點與混合策略
- 純策略鞍點：若存在策略對 (i, j)，使得對所有 i 和 j 都有 *aᵢj ≤ aᵢj ≤ aᵢj，則 (i, j) 是一個純策略納什均衡*（即鞍點），值 V = aᵢj** 即為博弈的值。
- 混合策略擴展：當純策略鞍點不存在時，雙方可隨機化策略選擇（即采用混合策略）。局中人I選擇一個概率向量 X = (x₁, x₂, ..., xₘ)（xᵢ ≥ 0, ∑xᵢ = 1）分布在 m 個策略上；局中人II選擇概率向量 Y = (y₁, y₂, ..., yₙ)（yⱼ ≥ 0, ∑yⱼ = 1）。此時，局中人I的期望收益為 XᵀAY。
- 混合策略解：馮·諾依曼極小極大定理證明，在混合策略意義下，任何矩陣對策都存在均衡點 (X, Y) 和值 V，滿足：
  - 局中人I的極大化極小值： maxₓ minᵧ XᵀAY = V
  - 局中人II的極小化極大值： minᵧ maxₓ XᵀAY = V

權威參考來源：

Myerson, R. B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. Harvard University Press. (經典博弈論教材，對矩陣對策有系統闡述)
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Game Theory" (提供博弈論基礎概念的精确定義與框架)
Osborne, M. J., & Rubinstein, A. (1994). A Course in Game Theory. MIT Press. (标準教科書，詳細講解零和博弈與矩陣對策)

網絡擴展解釋

矩陣對策是博弈論中的一個核心概念，特指兩人零和博弈，即兩個參與者的利益完全對立，一方的收益等于另一方的損失。其核心特點與解釋如下：

1.基本定義

參與者：僅有兩個決策者（玩家A和玩家B）。
零和性：A的收益即B的損失，雙方收益總和恒為零。
策略與矩陣表示：雙方策略組合的收益結果通過一個矩陣（支付矩陣）表示。例如：
- 若A有(m)種策略，B有(n)種策略，則矩陣為(m times n)的表格，元素(a{ij})表示A選策略(i)、B選策略(j)時A的收益（B的收益為(-a{ij})）。

2.解的概念：最小最大定理

純策略解：若存在某一行(i)和某一列(j)，使得(a_{ij})既是其行的最小值，又是其列的最大值，則稱((i,j))為鞍點，對應雙方的最優策略。
混合策略解：若無鞍點，雙方需以概率分布選擇策略（混合策略）。根據馮·諾依曼最小最大定理，存在值(V)使得： [ V = max{x} min{y} x^T A y = min{y} max{x} x^T A y ] 其中(x)和(y)為概率向量，(A)為支付矩陣。

3.求解方法

純策略：通過尋找鞍點直接确定最優策略。
混合策略：
- 線性規劃法：将問題轉化為線性規劃模型求解。
- 公式法：對2×2矩陣，可通過公式計算概率分布。例如，若矩陣為： [ A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix} ] 則A選擇兩個策略的概率為(frac{d-c}{(a+d)-(b+c)})和(frac{a-b}{(a+d)-(b+c)})（需分母非零）。

4.應用領域

經濟學：分析市場競争與定價策略。
軍事：優化攻防決策。
遊戲理論：設計棋類或電子遊戲的平衡策略。
人工智能：訓練智能體在對抗環境中學習最優策略。

示例

假設支付矩陣為： [ A = begin{pmatrix} 2 & -1 -3 & 4 end{pmatrix} ]

純策略：無鞍點（第二行最小值-3，第一列最大值2，不重合）。
混合策略解：通過計算，A以概率(frac{4-(-3)}{(2+4)-(-1-3)} = frac{7}{10})選擇策略1，B以概率(frac{4-(-1)}{10} = frac{5}{10})選擇策略1，博弈值(V = frac{2×4 - (-1)×(-3)}{10} = frac{5}{10})。

矩陣對策通過數學建模揭示了對抗性決策的本質，是分析沖突與合作的基礎工具。