矩阵变换英文解释翻译、矩阵变换的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix transform

分词翻译：

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

变换的英语翻译：

alternate; switch; transform; commutation
【计】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

专业解析

矩阵变换（Matrix Transformation）是线性代数中的核心概念，指通过矩阵运算对向量空间中的几何对象进行系统性改变的操作。从汉英词典角度可拆解为：“矩阵”对应“matrix”，即由数值排列成的矩形阵列；“变换”对应“transformation”，表示改变物体位置、形状或方向的过程。

数学定义与表示

矩阵变换本质是线性变换的代数表达，满足以下性质：

叠加性：$T(mathbf{u}+mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v})$
齐次性：$T(cmathbf{u}) = cT(mathbf{u})$

其标准形式为： $$ mathbf{y} = Amathbf{x} $$ 其中$A$是$m times n$矩阵，$mathbf{x} in mathbb{R}^n$为输入向量，$mathbf{y} in mathbb{R}^m$为输出向量。

典型应用领域

计算机图形学：三维物体的旋转、平移和缩放（如OpenGL的模型视图矩阵）
量子力学：态矢量在希尔伯特空间中的演化
机器学习：数据降维中的主成分分析（PCA）算法

参考来源

Gilbert Strang，《线性代数导论》（MIT Press）第3章
剑桥大学数学系公开课《线性代数：矩阵与变换》
IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 关于图像变换矩阵的论述

网络扩展解释

矩阵变换是线性代数中的核心概念，指通过矩阵对向量空间进行线性操作，改变向量的位置、方向或形状。以下是关键点的详细解释：

一、定义与基本性质

数学定义
矩阵变换是一个线性映射，可表示为 ( T(mathbf{v}) = Amathbf{v} )，其中 ( A ) 是 ( m times n ) 矩阵，( mathbf{v} ) 是 ( n ) 维向量。变换后得到 ( m ) 维向量。
线性性质
- 加法性：( T(mathbf{u} + mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v}) )
- 齐次性：( T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v}) )（( k ) 为标量）

二、常见矩阵变换类型

几何变换
- 旋转：用旋转矩阵改变向量方向，例如二维绕原点旋转 θ 角： $$ R(theta) = begin{bmatrix} costheta & -sintheta sintheta & costheta end{bmatrix} $$
- 缩放：对角矩阵调整各坐标轴比例，如 ( S = begin{bmatrix} s_x & 00 & s_y end{bmatrix} )。
- 平移：需引入齐次坐标（增加维度）实现非线性位移，例如三维平移： $$ T = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x 0 & 1 & 0 & t_y 0 & 0 & 1 & t_z 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} $$
其他变换
- 剪切（如倾斜字体）：( H = begin{bmatrix} 1 & k0 & 1 end{bmatrix} )。
- 投影（降维映射）：如三维到二维的正投影矩阵。
- 反射（镜像对称）：如关于 y 轴的反射矩阵 ( begin{bmatrix} -1 & 00 & 1 end{bmatrix} )。

三、数学表示与组合

矩阵乘法实现复合变换
多个变换可通过矩阵相乘组合，例如先旋转后缩放：( T = S cdot R )。注意顺序影响结果（矩阵乘法不可交换）。
逆变换
若矩阵可逆（行列式非零），可用 ( A^{-1} ) 恢复原向量。

四、应用领域

计算机图形学：3D模型的位置、视角变换（如OpenGL、Unity中的矩阵运算）。
机器学习：数据标准化、主成分分析（PCA）等特征处理。
物理学：刚体运动分析、坐标系的洛伦兹变换。

五、示例说明

问题：将点 (2, 3) 绕原点旋转 90°，再沿 x 轴放大 2 倍。
步骤：

旋转矩阵 ( R(90°) = begin{bmatrix} 0 & -11 & 0 end{bmatrix} )，得新坐标 ( (-3, 2) )。
缩放矩阵 ( S = begin{bmatrix} 2 & 00 & 1 end{bmatrix} )，最终坐标 ( (-6, 2) )。

通过矩阵变换，复杂的空间操作可简化为高效的数值计算，成为科学计算与工程设计的基石。