月沙工具箱
現在位置:月沙工具箱 > 學習工具 > 漢英詞典

矩陣變換英文解釋翻譯、矩陣變換的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯:

【計】 matrix transform

分詞翻譯:

矩陣的英語翻譯:

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

變換的英語翻譯:

alternate; switch; transform; commutation
【計】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

專業解析

矩陣變換(Matrix Transformation)是線性代數中的核心概念,指通過矩陣運算對向量空間中的幾何對象進行系統性改變的操作。從漢英詞典角度可拆解為:“矩陣”對應“matrix”,即由數值排列成的矩形陣列;“變換”對應“transformation”,表示改變物體位置、形狀或方向的過程。

數學定義與表示

矩陣變換本質是線性變換的代數表達,滿足以下性質:

  1. 疊加性:$T(mathbf{u}+mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v})$
  2. 齊次性:$T(cmathbf{u}) = cT(mathbf{u})$

其标準形式為: $$ mathbf{y} = Amathbf{x} $$ 其中$A$是$m times n$矩陣,$mathbf{x} in mathbb{R}^n$為輸入向量,$mathbf{y} in mathbb{R}^m$為輸出向量。

典型應用領域

  1. 計算機圖形學:三維物體的旋轉、平移和縮放(如OpenGL的模型視圖矩陣)
  2. 量子力學:态矢量在希爾伯特空間中的演化
  3. 機器學習:數據降維中的主成分分析(PCA)算法

相關數學概念

參考來源

  1. Gilbert Strang,《線性代數導論》(MIT Press)第3章
  2. 劍橋大學數學系公開課《線性代數:矩陣與變換》
  3. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 關于圖像變換矩陣的論述

網絡擴展解釋

矩陣變換是線性代數中的核心概念,指通過矩陣對向量空間進行線性操作,改變向量的位置、方向或形狀。以下是關鍵點的詳細解釋:


一、定義與基本性質

  1. 數學定義
    矩陣變換是一個線性映射,可表示為 ( T(mathbf{v}) = Amathbf{v} ),其中 ( A ) 是 ( m times n ) 矩陣,( mathbf{v} ) 是 ( n ) 維向量。變換後得到 ( m ) 維向量。

  2. 線性性質

    • 加法性:( T(mathbf{u} + mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v}) )
    • 齊次性:( T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v}) )(( k ) 為标量)

二、常見矩陣變換類型

  1. 幾何變換

    • 旋轉:用旋轉矩陣改變向量方向,例如二維繞原點旋轉 θ 角: $$ R(theta) = begin{bmatrix} costheta & -sintheta sintheta & costheta end{bmatrix} $$

    • 縮放:對角矩陣調整各坐标軸比例,如 ( S = begin{bmatrix} s_x & 00 & s_y end{bmatrix} )。

    • 平移:需引入齊次坐标(增加維度)實現非線性位移,例如三維平移: $$ T = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x 0 & 1 & 0 & t_y 0 & 0 & 1 & t_z 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} $$

  2. 其他變換

    • 剪切(如傾斜字體):( H = begin{bmatrix} 1 & k0 & 1 end{bmatrix} )。
    • 投影(降維映射):如三維到二維的正投影矩陣。
    • 反射(鏡像對稱):如關于 y 軸的反射矩陣 ( begin{bmatrix} -1 & 00 & 1 end{bmatrix} )。

三、數學表示與組合

  1. 矩陣乘法實現複合變換
    多個變換可通過矩陣相乘組合,例如先旋轉後縮放:( T = S cdot R )。注意順序影響結果(矩陣乘法不可交換)。

  2. 逆變換
    若矩陣可逆(行列式非零),可用 ( A^{-1} ) 恢複原向量。


四、應用領域

  1. 計算機圖形學:3D模型的位置、視角變換(如OpenGL、Unity中的矩陣運算)。
  2. 機器學習:數據标準化、主成分分析(PCA)等特征處理。
  3. 物理學:剛體運動分析、坐标系的洛倫茲變換。

五、示例說明

問題:将點 (2, 3) 繞原點旋轉 90°,再沿 x 軸放大 2 倍。
步驟:

  1. 旋轉矩陣 ( R(90°) = begin{bmatrix} 0 & -11 & 0 end{bmatrix} ),得新坐标 ( (-3, 2) )。
  2. 縮放矩陣 ( S = begin{bmatrix} 2 & 00 & 1 end{bmatrix} ),最終坐标 ( (-6, 2) )。

通過矩陣變換,複雜的空間操作可簡化為高效的數值計算,成為科學計算與工程設計的基石。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

别人正在浏覽...

【别人正在浏覽】