
【計】 matrix transform
matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix
alternate; switch; transform; commutation
【計】 reforming; transform
【化】 transform; transformation
矩陣變換(Matrix Transformation)是線性代數中的核心概念,指通過矩陣運算對向量空間中的幾何對象進行系統性改變的操作。從漢英詞典角度可拆解為:“矩陣”對應“matrix”,即由數值排列成的矩形陣列;“變換”對應“transformation”,表示改變物體位置、形狀或方向的過程。
矩陣變換本質是線性變換的代數表達,滿足以下性質:
其标準形式為: $$ mathbf{y} = Amathbf{x} $$ 其中$A$是$m times n$矩陣,$mathbf{x} in mathbb{R}^n$為輸入向量,$mathbf{y} in mathbb{R}^m$為輸出向量。
矩陣變換是線性代數中的核心概念,指通過矩陣對向量空間進行線性操作,改變向量的位置、方向或形狀。以下是關鍵點的詳細解釋:
數學定義
矩陣變換是一個線性映射,可表示為 ( T(mathbf{v}) = Amathbf{v} ),其中 ( A ) 是 ( m times n ) 矩陣,( mathbf{v} ) 是 ( n ) 維向量。變換後得到 ( m ) 維向量。
線性性質
幾何變換
旋轉:用旋轉矩陣改變向量方向,例如二維繞原點旋轉 θ 角: $$ R(theta) = begin{bmatrix} costheta & -sintheta sintheta & costheta end{bmatrix} $$
縮放:對角矩陣調整各坐标軸比例,如 ( S = begin{bmatrix} s_x & 00 & s_y end{bmatrix} )。
平移:需引入齊次坐标(增加維度)實現非線性位移,例如三維平移: $$ T = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x 0 & 1 & 0 & t_y 0 & 0 & 1 & t_z 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} $$
其他變換
矩陣乘法實現複合變換
多個變換可通過矩陣相乘組合,例如先旋轉後縮放:( T = S cdot R )。注意順序影響結果(矩陣乘法不可交換)。
逆變換
若矩陣可逆(行列式非零),可用 ( A^{-1} ) 恢複原向量。
問題:将點 (2, 3) 繞原點旋轉 90°,再沿 x 軸放大 2 倍。
步驟:
通過矩陣變換,複雜的空間操作可簡化為高效的數值計算,成為科學計算與工程設計的基石。
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