微积分英文解释翻译、微积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 infinitesimal calculus

分词翻译：

微的英语翻译：

decline; profound; tiny
【计】 mic-; micro-
【医】 micr-; micro-; mikro-; mu

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

微积分（Calculus）是数学的核心分支，主要研究函数的变化率（微分）与累积量（积分）及其相互关系。以下是其详细解释：

一、汉语释义与构成

微：指“无限细分”，对应微分学（Differential Calculus），通过极限思想研究函数瞬时变化率（如速度、斜率）。
积：指“无限求和”，对应积分学（Integral Calculus），通过求和过程计算面积、体积等累积量。
核心关系：微分与积分互为逆运算（微积分基本定理），构成统一理论体系。

二、核心概念与公式

微分（Derivative）
函数 ( f(x) ) 的导数定义为：

$$ f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{f(x + Delta x) - f(x)}{Delta x} $$

表示函数在某点的瞬时变化率，如速度是位移的导数。
积分（Integral）
函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 的定积分：

$$ inta^b f(x) , dx = lim{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i) Delta x $$

表示曲线下的面积或总量累积，如位移是速度的积分。
微积分基本定理
$$ frac{d}{dx} int_a^x f(t) , dt = f(x) $$

揭示了微分与积分的互逆关系，奠定理论基石。

三、应用领域

物理学：牛顿力学中的运动方程（如 ( F = ma ) 需微分求解）。
工程学：优化设计、控制系统的动态建模。
经济学：边际成本（微分）与总收益（积分）分析。
生物学：种群增长率模型（微分方程）。

四、历史背景

由牛顿（Isaac Newton）与莱布尼茨（Gottfried Leibniz）于17世纪独立创立，引发科学革命。牛顿侧重物理应用，莱布尼茨发展符号系统（如 ( int, dx )）。

权威参考资料

《微积分》高等教育出版社（中国教育部直属出版）
美国数学学会（AMS）术语定义
牛顿《自然哲学的数学原理》（斯坦福哲学百科）
莱布尼茨手稿研究（斯坦福大学档案馆）
微积分在工程中的应用（美国国家科学基金会案例库）

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网络扩展解释

微积分是数学的核心分支，主要研究变化率与累积量，包含微分学和积分学两部分，广泛应用于自然科学、工程、经济学等领域。以下是详细解释：

一、微分学：研究“瞬时变化”

核心概念：导数
导数表示函数在某一点的瞬时变化率，例如物体运动的瞬时速度。数学上定义为： $$ f'(x) = lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
几何意义：导数是函数图像在该点的切线斜率。
应用：优化问题（如最大利润）、预测趋势（如人口增长模型）等。

二、积分学：研究“累积效应”

核心概念：定积分
定积分计算函数在区间内的累积总量，例如曲线下的面积。数学表达式为： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$
几何意义：积分可理解为无限多个微小矩形面积之和。
应用：计算物体总位移、概率分布、资源总量等。

三、微分与积分的关系：微积分基本定理

核心定理：微分和积分是逆运算。若已知函数的导数为 ( f(x) )，则其原函数 ( F(x) ) 的定积分可表示为： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) $$
意义：该定理统一了微分与积分，成为解决实际问题的关键工具。

四、实际应用领域

物理学：牛顿力学中通过导数描述速度、加速度，积分计算功和能量。
工程学：电路分析、结构应力建模。
经济学：边际成本与收益分析（微分）、消费者剩余计算（积分）。
人工智能：梯度下降算法（微分）优化神经网络参数。

五、学习微积分的意义

微积分不仅是现代科学的语言，更提供了一种分析动态系统的思维方式。从行星轨道计算到疫情传播预测，其方法论深刻影响着人类对自然和社会现象的理解。