累积分布函数英文解释翻译、累积分布函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 cumulative distribution function

分词翻译：

累积分布的英语翻译：

【机】 cumulative distribution

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率论与统计学中描述随机变量概率分布的核心概念。其定义及核心特性如下：

一、基础定义

数学表述：设$X$为随机变量，其累积分布函数$F(x)$定义为： $$ F(x) = P(X leq x) $$ 表示随机变量$X$取值小于或等于实数$x$的概率。
汉英术语对照：
- 中文：累积分布函数（简称CDF）
- 英文：Cumulative Distribution Function (CDF)

二、核心性质

单调性：$F(x)$是$x$的单调非减函数，即若$x_1 < x_2$，则$F(x_1) leq F(x_2)$。
边界极限： $$ lim{x to -infty} F(x) = 0, quad lim{x to +infty} F(x) = 1 $$
右连续性：$F(x)$在任意点$x$处右连续，即$lim_{h to 0^+} F(x+h) = F(x)$。

三、应用意义

概率计算：对任意实数$a < b$，有： $$ P(a < X leq b) = F(b) - F(a) $$ 可直接通过CDF计算随机变量落在区间$(a,b]$内的概率。
分布描述：CDF完整刻画随机变量的统计特性，是离散型与连续型随机变量的统一描述工具。

四、与概率密度函数关系

若随机变量$X$为连续型，其概率密度函数（PDF）$f(x)$与CDF满足： $$ F(x) = int_{-infty}^{x} f(t)dt $$ 此时$f(x)$是$F(x)$的导数（几乎处处成立）。

权威参考来源：
定义及性质引自《中国大百科全书》概率论条目；数学推导参考NIST Statistical Handbook；应用案例援引Springer《概率论导论》。

网络扩展解释

累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）是概率论与统计学中的核心概念，用于描述一个随机变量 ( X ) 取值小于或等于某个特定值 ( x ) 的概率。以下是详细解释：

1. 定义

累积分布函数 ( F(x) ) 定义为： $$ F(x) = P(X leq x) $$ 即随机变量 ( X ) 的取值不超过 ( x ) 的概率。对所有实数 ( x )，CDF 给出了概率的累积结果。

2. 核心性质

单调非减性：若 ( x_1 < x_2 )，则 ( F(x_1) leq F(x_2) )。
右连续性：CDF 在定义域内右连续。
极限行为：
- 当 ( x to -infty ) 时，( F(x) to 0 )；
- 当 ( x to +infty ) 时，( F(x) to 1 )。

3. 与概率密度函数（PDF）的关系

连续型随机变量：
CDF 是概率密度函数 ( f(x) ) 的积分： $$ F(x) = int_{-infty}^x f(t) , dt $$ 反之，PDF 是 CDF 的导数： $$ f(x) = frac{d}{dx} F(x) $$
离散型随机变量：
CDF 是概率质量函数（PMF）的累积和： $$ F(x) = sum_{k leq x} P(X = k) $$

4. 应用场景

概率计算：直接通过 ( F(x) ) 求 ( P(X leq x) )，或结合区间概率公式 ( P(a < X leq b) = F(b) - F(a) )。
统计推断：用于假设检验（如Kolmogorov-Smirnov检验）或分位数计算。
分布可视化：CDF曲线能直观展示随机变量取值的累积概率趋势。

5. 示例

以标准正态分布为例，其CDF为： $$ F(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} int_{-infty}^x e^{-t/2} , dt $$ 虽然无法用初等函数表示，但可通过查表或数值方法计算。

CDF 是连接概率分布理论与应用的核心工具，通过累积概率的视角为随机变量的分析提供统一框架。无论是连续型还是离散型变量，CDF 都为其概率特性提供了全面描述。