累積分布函數英文解釋翻譯、累積分布函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 cumulative distribution function

分詞翻譯：

累積分布的英語翻譯：

【機】 cumulative distribution

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

累積分布函數（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率論與統計學中描述隨機變量概率分布的核心概念。其定義及核心特性如下：

一、基礎定義

數學表述：設$X$為隨機變量，其累積分布函數$F(x)$定義為： $$ F(x) = P(X leq x) $$ 表示隨機變量$X$取值小于或等于實數$x$的概率。
漢英術語對照：
- 中文：累積分布函數（簡稱CDF）
- 英文：Cumulative Distribution Function (CDF)

二、核心性質

單調性：$F(x)$是$x$的單調非減函數，即若$x_1 < x_2$，則$F(x_1) leq F(x_2)$。
邊界極限： $$ lim{x to -infty} F(x) = 0, quad lim{x to +infty} F(x) = 1 $$
右連續性：$F(x)$在任意點$x$處右連續，即$lim_{h to 0^+} F(x+h) = F(x)$。

三、應用意義

概率計算：對任意實數$a < b$，有： $$ P(a < X leq b) = F(b) - F(a) $$ 可直接通過CDF計算隨機變量落在區間$(a,b]$内的概率。
分布描述：CDF完整刻畫隨機變量的統計特性，是離散型與連續型隨機變量的統一描述工具。

四、與概率密度函數關系

若隨機變量$X$為連續型，其概率密度函數（PDF）$f(x)$與CDF滿足： $$ F(x) = int_{-infty}^{x} f(t)dt $$ 此時$f(x)$是$F(x)$的導數（幾乎處處成立）。

權威參考來源：
定義及性質引自《中國大百科全書》概率論條目；數學推導參考NIST Statistical Handbook；應用案例援引Springer《概率論導論》。

網絡擴展解釋

累積分布函數（Cumulative Distribution Function，CDF）是概率論與統計學中的核心概念，用于描述一個隨機變量 ( X ) 取值小于或等于某個特定值 ( x ) 的概率。以下是詳細解釋：

1. 定義

累積分布函數 ( F(x) ) 定義為： $$ F(x) = P(X leq x) $$ 即隨機變量 ( X ) 的取值不超過 ( x ) 的概率。對所有實數 ( x )，CDF 給出了概率的累積結果。

2. 核心性質

單調非減性：若 ( x_1 < x_2 )，則 ( F(x_1) leq F(x_2) )。
右連續性：CDF 在定義域内右連續。
極限行為：
- 當 ( x to -infty ) 時，( F(x) to 0 )；
- 當 ( x to +infty ) 時，( F(x) to 1 )。

3. 與概率密度函數（PDF）的關系

連續型隨機變量：
CDF 是概率密度函數 ( f(x) ) 的積分： $$ F(x) = int_{-infty}^x f(t) , dt $$ 反之，PDF 是 CDF 的導數： $$ f(x) = frac{d}{dx} F(x) $$
離散型隨機變量：
CDF 是概率質量函數（PMF）的累積和： $$ F(x) = sum_{k leq x} P(X = k) $$

4. 應用場景

概率計算：直接通過 ( F(x) ) 求 ( P(X leq x) )，或結合區間概率公式 ( P(a < X leq b) = F(b) - F(a) )。
統計推斷：用于假設檢驗（如Kolmogorov-Smirnov檢驗）或分位數計算。
分布可視化：CDF曲線能直觀展示隨機變量取值的累積概率趨勢。

5. 示例

以标準正态分布為例，其CDF為： $$ F(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} int_{-infty}^x e^{-t/2} , dt $$ 雖然無法用初等函數表示，但可通過查表或數值方法計算。

CDF 是連接概率分布理論與應用的核心工具，通過累積概率的視角為隨機變量的分析提供統一框架。無論是連續型還是離散型變量，CDF 都為其概率特性提供了全面描述。