拉格朗日函数英文解释翻译、拉格朗日函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 lagrange function
【化】 Lagrangian function

分词翻译：

拉的英语翻译：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【机】 pull; tension; tractive

格的英语翻译：

case; division; metre; square; standard; style
【计】 lattice

朗的英语翻译：

bright; loud and clear

日的英语翻译：

daily; day; run; sun; time
【医】 day; helio-

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

在汉英词典视角下，“拉格朗日函数”（Lagrangian Function/Lagrangian）是分析力学中的核心概念，其定义与物理意义如下：

定义 (Definition): 拉格朗日函数 ( L ) 是一个标量函数，通常定义为系统的动能 ( T ) 减去其势能 ( V )： $$ L = T - V $$ 这个函数是系统广义坐标 ( q_i )、广义速度 ( dot{q_i} ) 和时间 ( t ) 的函数，即 ( L = L(q_1, q_2, dots, q_n, dot{q_1}, dot{q_2}, dots, dot{q_n}, t) )。它概括了系统的动力学特性。

物理意义 (Physical Significance): 拉格朗日函数是分析力学（尤其是拉格朗日力学）的基石。其核心意义在于：

运动方程来源 (Source of Equations of Motion): 通过应用哈密顿原理（Hamilton's Principle）或拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equations），可以从拉格朗日函数直接推导出系统的运动微分方程。拉格朗日方程为： $$ frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q_i}} right) - frac{partial L}{partial q_i} = 0 quad (i = 1, 2, dots, n) $$ 其中 ( q_i ) 是描述系统位形的广义坐标。
包含动力学信息 (Encapsulates Dynamics): ( L = T - V ) 的形式巧妙地包含了系统的惯性（通过动能 ( T ) ）和受力情况（通过势能 ( V ) ）。系统的全部动力学行为都蕴含在这个标量函数中。
处理约束的优越性 (Advantage with Constraints): 与牛顿力学相比，拉格朗日方法在处理复杂约束系统时具有显著优势。只要约束是理想约束（约束力在虚位移上不做功），就可以直接选取合适的广义坐标将约束“吸收”掉，无需显式求解约束力，大大简化了问题。
标量性 (Scalar Nature): 作为一个标量函数，拉格朗日函数在坐标变换下具有很好的性质（其形式可能改变，但描述物理的本质不变），使得理论推导更为简洁和普适。
推广性 (Generality): 拉格朗日函数的概念不仅适用于经典力学，还构成了量子力学、量子场论（如标准模型中的拉格朗日量是现代物理学的基础）和广义相对论等现代物理理论框架的核心部分。

权威参考来源 (Authoritative References): 由于本回答基于经典物理学知识体系，推荐查阅以下权威资料获取更深入、严谨的解释和应用实例：

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. - 经典力学教材标杆，对拉格朗日力学有系统阐述。
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed., Vol. 1). Butterworth-Heinemann. - 理论物理教程第一卷，以深刻见解著称。
Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. - 从数学角度深入探讨分析力学。
Wikipedia: Lagrangian mechanics - 提供概述和基本概念（请注意核实信息）。
Encyclopedia Britannica: Lagrange’s equations - 提供权威的百科条目解释。

总结 (Summary): 在汉英对照中，“拉格朗日函数”(Lagrangian Function) 指代一个关键物理量 ( L = T - V )。它是分析力学中描述系统动力学的核心工具，通过拉格朗日方程可直接导出运动规律，特别擅长处理有约束的系统，并具有高度的普适性和理论深度，是现代物理学的重要基石。其价值在于用一个标量函数统一而简洁地刻画了复杂系统的动力学行为。如需更详细数学推导或具体应用案例，建议查阅上述经典力学教材或权威物理百科全书。

网络扩展解释

拉格朗日函数（Lagrangian function）是数学优化领域中处理约束问题的重要工具，由意大利数学家拉格朗日提出。它通过引入拉格朗日乘子将约束条件与目标函数结合，将原本复杂的带约束优化问题转化为无约束问题来求解。

1.数学定义

拉格朗日函数的一般形式为： $$ mathcal{L}(x, lambda) = f(x) + sum_{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^n mu_j h_j(x) $$ 其中：

( f(x) ) 是原问题的目标函数；
( g_i(x) = 0 ) 和 ( h_j(x) leq 0 ) 分别表示等式约束和不等式约束；
(lambda_i) 和 (mu_j) 是对应的拉格朗日乘子（(mu_j geq 0)）。

2.核心作用

消除约束：通过将约束条件加权后加入目标函数，将原问题转化为无约束优化问题。
极值条件：最优解满足拉格朗日函数的梯度为零，即： $$

abla_x mathcal{L} = 0, quad g_i(x) = 0, quad mu_j h_j(x) = 0 quad (text{互补松弛条件})。 $$

经济与物理意义：在经济学中，拉格朗日乘子可解释为资源稀缺性的“影子价格”；在物理学中，用于描述系统的动力学方程（如拉格朗日力学）。

3.应用场景

等式约束优化：例如最小化成本时满足固定产量，此时仅需引入(lambda_i g_i(x))。
不等式约束优化：需结合KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件），要求乘子非负且互补松弛。
凸优化问题：拉格朗日对偶性常用于求解凸优化对偶问题。

4.示例

假设需最小化( f(x,y) = x + y )，满足等式约束( g(x,y) = x + y - 1 = 0 )。构造拉格朗日函数： $$ mathcal{L}(x,y,lambda) = x + y + lambda(x + y - 1) $$ 求解梯度方程组： $$ frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x + lambda = 0, quad frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y + lambda = 0, quad x + y = 1 $$ 解得( x = y = 0.5 )，此时目标函数取得最小值。

5.扩展说明

对偶问题：拉格朗日函数可导出对偶问题，用于分析原问题的下界或上界。
局限性：对于非凸问题，可能无法保证全局最优解，需结合其他方法。

通过拉格朗日函数，复杂约束下的优化问题得以系统化分析，成为经济学、工程学、物理学等多个领域的核心工具。