拉格朗日函數英文解釋翻譯、拉格朗日函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 lagrange function
【化】 Lagrangian function

分詞翻譯：

拉的英語翻譯：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【機】 pull; tension; tractive

格的英語翻譯：

case; division; metre; square; standard; style
【計】 lattice

朗的英語翻譯：

bright; loud and clear

日的英語翻譯：

daily; day; run; sun; time
【醫】 day; helio-

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在漢英詞典視角下，“拉格朗日函數”（Lagrangian Function/Lagrangian）是分析力學中的核心概念，其定義與物理意義如下：

定義 (Definition): 拉格朗日函數 ( L ) 是一個标量函數，通常定義為系統的動能 ( T ) 減去其勢能 ( V )： $$ L = T - V $$ 這個函數是系統廣義坐标 ( q_i )、廣義速度 ( dot{q_i} ) 和時間 ( t ) 的函數，即 ( L = L(q_1, q_2, dots, q_n, dot{q_1}, dot{q_2}, dots, dot{q_n}, t) )。它概括了系統的動力學特性。

物理意義 (Physical Significance): 拉格朗日函數是分析力學（尤其是拉格朗日力學）的基石。其核心意義在于：

運動方程來源 (Source of Equations of Motion): 通過應用哈密頓原理（Hamilton's Principle）或拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equations），可以從拉格朗日函數直接推導出系統的運動微分方程。拉格朗日方程為： $$ frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q_i}} right) - frac{partial L}{partial q_i} = 0 quad (i = 1, 2, dots, n) $$ 其中 ( q_i ) 是描述系統位形的廣義坐标。
包含動力學信息 (Encapsulates Dynamics): ( L = T - V ) 的形式巧妙地包含了系統的慣性（通過動能 ( T ) ）和受力情況（通過勢能 ( V ) ）。系統的全部動力學行為都蘊含在這個标量函數中。
處理約束的優越性 (Advantage with Constraints): 與牛頓力學相比，拉格朗日方法在處理複雜約束系統時具有顯著優勢。隻要約束是理想約束（約束力在虛位移上不做功），就可以直接選取合適的廣義坐标将約束“吸收”掉，無需顯式求解約束力，大大簡化了問題。
标量性 (Scalar Nature): 作為一個标量函數，拉格朗日函數在坐标變換下具有很好的性質（其形式可能改變，但描述物理的本質不變），使得理論推導更為簡潔和普適。
推廣性 (Generality): 拉格朗日函數的概念不僅適用于經典力學，還構成了量子力學、量子場論（如标準模型中的拉格朗日量是現代物理學的基礎）和廣義相對論等現代物理理論框架的核心部分。

權威參考來源 (Authoritative References): 由于本回答基于經典物理學知識體系，推薦查閱以下權威資料獲取更深入、嚴謹的解釋和應用實例：

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. - 經典力學教材标杆，對拉格朗日力學有系統闡述。
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed., Vol. 1). Butterworth-Heinemann. - 理論物理教程第一卷，以深刻見解著稱。
Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. - 從數學角度深入探讨分析力學。
Wikipedia: Lagrangian mechanics - 提供概述和基本概念（請注意核實信息）。
Encyclopedia Britannica: Lagrange’s equations - 提供權威的百科條目解釋。

總結 (Summary): 在漢英對照中，“拉格朗日函數”(Lagrangian Function) 指代一個關鍵物理量 ( L = T - V )。它是分析力學中描述系統動力學的核心工具，通過拉格朗日方程可直接導出運動規律，特别擅長處理有約束的系統，并具有高度的普適性和理論深度，是現代物理學的重要基石。其價值在于用一個标量函數統一而簡潔地刻畫了複雜系統的動力學行為。如需更詳細數學推導或具體應用案例，建議查閱上述經典力學教材或權威物理百科全書。

網絡擴展解釋

拉格朗日函數（Lagrangian function）是數學優化領域中處理約束問題的重要工具，由意大利數學家拉格朗日提出。它通過引入拉格朗日乘子将約束條件與目标函數結合，将原本複雜的帶約束優化問題轉化為無約束問題來求解。

1.數學定義

拉格朗日函數的一般形式為： $$ mathcal{L}(x, lambda) = f(x) + sum_{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^n mu_j h_j(x) $$ 其中：

( f(x) ) 是原問題的目标函數；
( g_i(x) = 0 ) 和 ( h_j(x) leq 0 ) 分别表示等式約束和不等式約束；
(lambda_i) 和 (mu_j) 是對應的拉格朗日乘子（(mu_j geq 0)）。

2.核心作用

消除約束：通過将約束條件加權後加入目标函數，将原問題轉化為無約束優化問題。
極值條件：最優解滿足拉格朗日函數的梯度為零，即： $$

abla_x mathcal{L} = 0, quad g_i(x) = 0, quad mu_j h_j(x) = 0 quad (text{互補松弛條件})。 $$

經濟與物理意義：在經濟學中，拉格朗日乘子可解釋為資源稀缺性的“影子價格”；在物理學中，用于描述系統的動力學方程（如拉格朗日力學）。

3.應用場景

等式約束優化：例如最小化成本時滿足固定産量，此時僅需引入(lambda_i g_i(x))。
不等式約束優化：需結合KKT條件（Karush-Kuhn-Tucker條件），要求乘子非負且互補松弛。
凸優化問題：拉格朗日對偶性常用于求解凸優化對偶問題。

4.示例

假設需最小化( f(x,y) = x + y )，滿足等式約束( g(x,y) = x + y - 1 = 0 )。構造拉格朗日函數： $$ mathcal{L}(x,y,lambda) = x + y + lambda(x + y - 1) $$ 求解梯度方程組： $$ frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x + lambda = 0, quad frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y + lambda = 0, quad x + y = 1 $$ 解得( x = y = 0.5 )，此時目标函數取得最小值。

5.擴展說明

對偶問題：拉格朗日函數可導出對偶問題，用于分析原問題的下界或上界。
局限性：對于非凸問題，可能無法保證全局最優解，需結合其他方法。

通過拉格朗日函數，複雜約束下的優化問題得以系統化分析，成為經濟學、工程學、物理學等多個領域的核心工具。