微分结构英文解释翻译、微分结构的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 differential structure

分词翻译：

微分的英语翻译：

【计】 differential calculus
【经】 differential

结构的英语翻译：

frame; structure; composition; configuration; construction; fabric; mechanism
【计】 frame work
【医】 constitution; formatio; formation; installation; structure; tcxture

专业解析

在汉英词典视角下，“微分结构”（Differential Structure）是微分几何与拓扑学中的核心概念，指赋予一个拓扑流形（Topological Manifold）以进行微积分运算所需的结构。以下是其详细解释：

一、数学定义

核心构成
微分结构由一组覆盖流形的局部坐标卡（Local Charts）构成，这些坐标卡满足光滑相容性条件。具体而言，若两个坐标卡 $(U, phi)$ 与 $(V, psi)$ 交集非空，则其转换映射： $$ psi circ phi^{-1}: phi(U cap V) to psi(U cap V) $$ 必须是光滑函数（$C^infty$）。
等价定义
微分结构等价于在流形上定义了一个极大光滑图册（Maximal Smooth Atlas），该图册包含所有与给定坐标卡光滑相容的局部坐标系。

二、存在性与唯一性

存在性
并非所有拓扑流形都可赋予微分结构。例如，4维拓扑流形可能存在不可数无穷多个互不等价的微分结构（如$S$的怪异微分结构），而2维、3维流形则具有唯一微分结构。
唯一性问题
米尔诺（John Milnor）于1956年发现七维怪球（Exotic Sphere），证明同一拓扑流形可存在多种不等价的微分结构，颠覆了此前对微分结构唯一性的认知。

三、应用场景

物理建模
广义相对论中的时空模型（如爱因斯坦场方程的解）需建立在具有微分结构的4维洛伦兹流形上，以描述引力场几何。
现代几何研究
微分结构是研究规范理论（Gauge Theory）和量子引力理论（如弦论）的基础框架，用于定义联络、曲率等几何量。

权威参考文献

MathWorld
Weisstein, E. W. "Differential Structure." MathWorld

链接：mathworld.wolfram.com/DifferentialStructure.html
Encyclopedia of Mathematics
"Differential structure." EMS Press, 2021.

链接：encyclopediaofmath.org/wiki/Differential_structure
Springer Reference
Michor, P. W. "Topics in Differential Geometry." Graduate Texts in Mathematics, vol. 93.

链接：link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-69944-4_1
学术专著
Milnor, J. Lectures on the h-cobordism theorem. Princeton University Press, 1965.

链接：press.princeton.edu/books/paperback/9780691080317

网络扩展解释

微分结构是微分几何中的一个核心概念，主要用于定义流形上的可微性。以下是其关键解释：

1.基本定义

微分结构指在拓扑流形上附加的一种数学结构，使其成为微分流形（如光滑流形）。这一结构通过坐标卡相容性实现，确保流形上可进行微积分运算。

2.核心组成

坐标卡（Chart）：流形局部与欧几里得空间开集的同胚映射。
图册（Atlas）：覆盖整个流形的坐标卡集合。
转移函数：不同坐标卡间的转换映射，需满足光滑性条件（如C^k类）。

3.相容性条件

若两个坐标卡的交集非空，其转移函数（即坐标变换）必须是微分同胚（光滑且逆光滑）。例如，C^∞结构的转移函数需无限次可微。

4.分类与扩展

C^k结构：根据转移函数的光滑程度，可分为C、C直至C^∞（光滑结构）。
唯一性：某些流形可能存在多个不等价的微分结构（如四维流形的“怪异结构”）。

5.作用与应用

微分结构使流形具备局部欧几里得性质，从而支持向量场、微分形式等分析工具，广泛应用于广义相对论、规范场论等领域。

如需进一步了解微分结构的数学定义或实例，可参考（搜狗百科）和（知乎讨论）。