微分結構英文解釋翻譯、微分結構的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 differential structure

分詞翻譯：

微分的英語翻譯：

【計】 differential calculus
【經】 differential

結構的英語翻譯：

frame; structure; composition; configuration; construction; fabric; mechanism
【計】 frame work
【醫】 constitution; formatio; formation; installation; structure; tcxture

專業解析

在漢英詞典視角下，“微分結構”（Differential Structure）是微分幾何與拓撲學中的核心概念，指賦予一個拓撲流形（Topological Manifold）以進行微積分運算所需的結構。以下是其詳細解釋：

一、數學定義

核心構成
微分結構由一組覆蓋流形的局部坐标卡（Local Charts）構成，這些坐标卡滿足光滑相容性條件。具體而言，若兩個坐标卡 $(U, phi)$ 與 $(V, psi)$ 交集非空，則其轉換映射： $$ psi circ phi^{-1}: phi(U cap V) to psi(U cap V) $$ 必須是光滑函數（$C^infty$）。
等價定義
微分結構等價于在流形上定義了一個極大光滑圖冊（Maximal Smooth Atlas），該圖冊包含所有與給定坐标卡光滑相容的局部坐标系。

二、存在性與唯一性

存在性
并非所有拓撲流形都可賦予微分結構。例如，4維拓撲流形可能存在不可數無窮多個互不等價的微分結構（如$S$的怪異微分結構），而2維、3維流形則具有唯一微分結構。
唯一性問題
米爾諾（John Milnor）于1956年發現七維怪球（Exotic Sphere），證明同一拓撲流形可存在多種不等價的微分結構，颠覆了此前對微分結構唯一性的認知。

三、應用場景

物理建模
廣義相對論中的時空模型（如愛因斯坦場方程的解）需建立在具有微分結構的4維洛倫茲流形上，以描述引力場幾何。
現代幾何研究
微分結構是研究規範理論（Gauge Theory）和量子引力理論（如弦論）的基礎框架，用于定義聯絡、曲率等幾何量。

權威參考文獻

MathWorld
Weisstein, E. W. "Differential Structure." MathWorld

鍊接：mathworld.wolfram.com/DifferentialStructure.html
Encyclopedia of Mathematics
"Differential structure." EMS Press, 2021.

鍊接：encyclopediaofmath.org/wiki/Differential_structure
Springer Reference
Michor, P. W. "Topics in Differential Geometry." Graduate Texts in Mathematics, vol. 93.

鍊接：link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-69944-4_1
學術專著
Milnor, J. Lectures on the h-cobordism theorem. Princeton University Press, 1965.

鍊接：press.princeton.edu/books/paperback/9780691080317

網絡擴展解釋

微分結構是微分幾何中的一個核心概念，主要用于定義流形上的可微性。以下是其關鍵解釋：

1.基本定義

微分結構指在拓撲流形上附加的一種數學結構，使其成為微分流形（如光滑流形）。這一結構通過坐标卡相容性實現，确保流形上可進行微積分運算。

2.核心組成

坐标卡（Chart）：流形局部與歐幾裡得空間開集的同胚映射。
圖冊（Atlas）：覆蓋整個流形的坐标卡集合。
轉移函數：不同坐标卡間的轉換映射，需滿足光滑性條件（如C^k類）。

3.相容性條件

若兩個坐标卡的交集非空，其轉移函數（即坐标變換）必須是微分同胚（光滑且逆光滑）。例如，C^∞結構的轉移函數需無限次可微。

4.分類與擴展

C^k結構：根據轉移函數的光滑程度，可分為C、C直至C^∞（光滑結構）。
唯一性：某些流形可能存在多個不等價的微分結構（如四維流形的“怪異結構”）。

5.作用與應用

微分結構使流形具備局部歐幾裡得性質，從而支持向量場、微分形式等分析工具，廣泛應用于廣義相對論、規範場論等領域。

如需進一步了解微分結構的數學定義或實例，可參考（搜狗百科）和（知乎讨論）。