外积学说英文解释翻译、外积学说的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【医】 apposition theory

分词翻译：

外积的英语翻译：

【医】 apposition

学说的英语翻译：

doctrine; Lysenkoism; theory
【医】 doctrine; theory

专业解析

在汉英词典视角下，“外积学说”对应的核心概念为Exterior Algebra（外代数）或Grassmann Algebra（格拉斯曼代数），这是描述向量空间上反对称多重线性运算的数学理论体系。其核心在于通过外积（Exterior Product 或 Wedge Product）构建具有几何与代数意义的抽象结构。

一、术语定义与数学内涵

外积（Exterior Product）
记作 ( wedge )（如 ( mathbf{u} wedge mathbf{v} )），是满足反对称性（( mathbf{u} wedge mathbf{v} = -mathbf{v} wedge mathbf{u} )）的双线性运算。它将向量提升为更高维的“有向几何量”，如二重向量（bivector）表示有向平面面积，三重向量表示有向体积。
外代数（Exterior Algebra）
由赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）于1844年提出，将向量空间 ( V ) 扩展为包含所有阶数外积的代数结构 ( bigwedge(V) )。其元素形式为：

$$ bigwedge(V) = mathbb{R} oplus V oplus bigwedge(V) oplus cdots oplus bigwedge^n(V) $$

其中 ( bigwedge^k(V) ) 为 ( k )-向量空间，维度为 ( binom{n}{k} )。

二、核心性质与几何意义

定向体积计算：( k ) 个向量的外积 ( mathbf{v}_1 wedge cdots wedge mathbf{v}_k ) 非零当且仅当向量线性无关，其模长等于它们张成的平行多面体体积。
微分形式基础：在微分几何中，外积用于定义微分形式（differential forms），如 ( dx wedge dy ) 表示二维面积元，是斯托克斯定理（Stokes' Theorem）的核心工具。
子空间表征：( k )-向量可表示向量空间的 ( k ) 维子空间，例如在投影几何中用于平面描述。

三、现代应用领域

理论物理
外代数用于规范场论（如纤维丛联络）、超对称代数及旋量分析，为量子场论提供几何语言。

计算机图形学
几何代数（基于外积）优化三维旋转与投影计算，提升渲染效率。

控制论与优化
微分形式的积分描述系统能量，应用于非线性控制系统分析。

四、权威学术依据

历史奠基：格拉斯曼的原始工作 Die lineale Ausdehnungslehre (1844) 首次系统构建外积体系，后经Élie Cartan发展微分形式理论。
数学标准定义：美国数学会（AMS）将外积列为多重线性代数核心概念，强调其与行列式、体积的等价性。
物理应用验证：在广义相对论中，爱因斯坦场方程的微分形式表述依赖外微分运算。

参考文献

Grassmann, H. Extension Theory (1862). AMS Historical Monographs.
Dorst, L. Geometric Algebra for Computer Graphics. ACM SIGGRAPH Courses (2007).
Frankel, T. The Geometry of Physics. Cambridge University Press (2011).
Bourbaki, N. Algebra I: Chapters 1-3. Springer (1998).

网络扩展解释

“外积”一词在不同语境中有不同含义，需结合具体领域进行解释：

一、古代文献中的含义（非数学概念）

主要见于《韩非子·亡徵》，指财富的外部积聚：

核心解释：商贾通过贸易积累的财富，属于民间而非国家内库的资产。
背景分析：古代重农抑商思想下，这种“外积”被视为国家潜在危机，因其难以被中央直接掌控。

二、数学中的外积（现代主流含义）

主要应用于向量运算和几何代数：

基本定义
两个向量$vec{a}$和$vec{b}$的外积（叉乘）记作$vec{a} times vec{b}$，结果是一个新向量：
- 模长：$|vec{a}||vec{b}|sintheta$（对应两向量构成平行四边形的面积）
- 方向：遵循右手法则，垂直于原向量所在平面
几何意义
外积生成的向量可用于：
- 计算平面法向量
- 判断空间向量相对位置（如三维空间中的旋转方向）
- 物理中描述力矩、角动量等矢量关系
与其他运算的对比
| 运算类型 | 结果形式 | 物理意义 | |----------|----------|----------| | 内积（点乘） | 标量 | 投影关系 | | 外积（叉乘） | 向量 | 空间取向 |

三、其他相关概念

张量外积：高阶张量的生成方式，如$mathbf{A} otimes mathbf{B}$
楔积（几何代数）：推广了外积概念，用于多维空间分析

需注意

“外积学说”并非严格学术术语，若指特定理论可能需要更具体语境。建议结合使用场景进一步说明需求。