凸集英文解释翻译、凸集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convex set

分词翻译：

凸的英语翻译：

protruding
【医】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

集的英语翻译：

collect; collection; gather; volume
【电】 set

专业解析

在数学优化和几何理论中，凸集（Convex Set）是一个基础且重要的概念，其汉英对应关系及核心定义如下：

一、汉英术语对照

中文：凸集
英文：Convex Set
词源：源自拉丁语 convexus（意为“拱形”），描述集合的几何特性。

二、严格定义

设 ( S ) 是实数域上的向量空间（如 (mathbb{R}^n)）的子集。若对任意两点 ( x, y in S ) 和任意标量 ( lambda in)，均满足：

$$ lambda x + (1-lambda)y in S $$

则称 ( S ) 为凸集。换言之，集合内任意两点的连线仍完全包含于该集合。

三、几何直观解释

凸集的几何特征可概括为：

无“凹陷”区域：集合边界不向内弯曲（如圆、三角形、立方体）。
线性组合封闭：若两点属于集合，则两点间线段上的所有点也必属于集合（见图示）。

凸集与非凸集对比

图示：左侧为凸集（圆、多边形），右侧为非凸集（星形、月牙形）

四、典型示例与应用场景

常见凸集：
- 超平面（Hyperplane）：( {x mid a^Tx = b} )
- 球体（Ball）：( {x mid |x - x_c| leq r} )
- 半正定矩阵锥（Positive Semidefinite Cone）
优化理论中的作用：
凸集是凸优化问题的可行域基础。若目标函数为凸函数且约束集为凸集，则局部最优解即全局最优解，算法效率显著提升。

五、权威参考文献

教材定义：

“凸集要求集合包含其中任意两点的凸组合。”
——Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe, Convex Optimization（剑桥大学出版社）链接
数学百科：
MathWorld对凸集的几何特性及代数条件有详细阐释链接
中文权威来源：
《数学辞海》（高等教育出版社）强调凸集在泛函分析中的推广形式链接

本定义综合了几何直观、代数条件及优化应用，并引用国际权威教材与学术资源，确保概念表述的准确性与专业性。

网络扩展解释

凸集是数学中的一个重要概念，主要应用于几何、优化和线性代数领域。其核心定义和性质如下：

定义

一个集合 ( C subseteq mathbb{R}^n ) 是凸集，当且仅当对于任意两点 ( mathbf{x}, mathbf{y} in C ) 和任意标量 ( lambda in)，它们的凸组合 ( lambda mathbf{x} + (1-lambda) mathbf{y} ) 仍然属于 ( C )。这意味着连接两点的线段完全位于集合内部。

例子

简单凸集：直线、平面、超平面、球体、立方体等。
非凸集：月牙形、空心圆环等含有“凹陷”的集合。
特殊凸集：空集和单点集合（视为退化的凸集）。

性质

闭合性：凸集的交集仍是凸集（但并集不一定）。
凸组合闭合：有限个点的凸组合仍属于该集合。
仿射变换保持凸性：平移、缩放、旋转等操作后的像仍是凸集。

应用

凸集是凸优化的基础。在凸优化问题中，目标函数和约束条件均为凸，此时局部最优解即全局最优解，且存在高效算法求解。

数学表达式

若 ( C ) 是凸集，则满足： $$ forall mathbf{x}, mathbf{y} in C, forall lambda in :quad lambda mathbf{x} + (1-lambda) mathbf{y} in C. $$

通过理解凸集，可以进一步学习凸函数、凸优化等更复杂的数学工具。