凸集英文解釋翻譯、凸集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convex set

分詞翻譯：

凸的英語翻譯：

protruding
【醫】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

集的英語翻譯：

collect; collection; gather; volume
【電】 set

專業解析

在數學優化和幾何理論中，凸集（Convex Set）是一個基礎且重要的概念，其漢英對應關系及核心定義如下：

一、漢英術語對照

中文：凸集
英文：Convex Set
詞源：源自拉丁語 convexus（意為“拱形”），描述集合的幾何特性。

二、嚴格定義

設 ( S ) 是實數域上的向量空間（如 (mathbb{R}^n)）的子集。若對任意兩點 ( x, y in S ) 和任意标量 ( lambda in)，均滿足：

$$ lambda x + (1-lambda)y in S $$

則稱 ( S ) 為凸集。換言之，集合内任意兩點的連線仍完全包含于該集合。

三、幾何直觀解釋

凸集的幾何特征可概括為：

無“凹陷”區域：集合邊界不向内彎曲（如圓、三角形、立方體）。
線性組合封閉：若兩點屬于集合，則兩點間線段上的所有點也必屬于集合（見圖示）。

凸集與非凸集對比

圖示：左側為凸集（圓、多邊形），右側為非凸集（星形、月牙形）

四、典型示例與應用場景

常見凸集：
- 超平面（Hyperplane）：( {x mid a^Tx = b} )
- 球體（Ball）：( {x mid |x - x_c| leq r} )
- 半正定矩陣錐（Positive Semidefinite Cone）
優化理論中的作用：
凸集是凸優化問題的可行域基礎。若目标函數為凸函數且約束集為凸集，則局部最優解即全局最優解，算法效率顯著提升。

五、權威參考文獻

教材定義：

“凸集要求集合包含其中任意兩點的凸組合。”
——Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe, Convex Optimization（劍橋大學出版社）鍊接
數學百科：
MathWorld對凸集的幾何特性及代數條件有詳細闡釋鍊接
中文權威來源：
《數學辭海》（高等教育出版社）強調凸集在泛函分析中的推廣形式鍊接

本定義綜合了幾何直觀、代數條件及優化應用，并引用國際權威教材與學術資源，确保概念表述的準确性與專業性。

網絡擴展解釋

凸集是數學中的一個重要概念，主要應用于幾何、優化和線性代數領域。其核心定義和性質如下：

定義

一個集合 ( C subseteq mathbb{R}^n ) 是凸集，當且僅當對于任意兩點 ( mathbf{x}, mathbf{y} in C ) 和任意标量 ( lambda in)，它們的凸組合 ( lambda mathbf{x} + (1-lambda) mathbf{y} ) 仍然屬于 ( C )。這意味着連接兩點的線段完全位于集合内部。

例子

簡單凸集：直線、平面、超平面、球體、立方體等。
非凸集：月牙形、空心圓環等含有“凹陷”的集合。
特殊凸集：空集和單點集合（視為退化的凸集）。

性質

閉合性：凸集的交集仍是凸集（但并集不一定）。
凸組合閉合：有限個點的凸組合仍屬于該集合。
仿射變換保持凸性：平移、縮放、旋轉等操作後的像仍是凸集。

應用

凸集是凸優化的基礎。在凸優化問題中，目标函數和約束條件均為凸，此時局部最優解即全局最優解，且存在高效算法求解。

數學表達式

若 ( C ) 是凸集，則滿足： $$ forall mathbf{x}, mathbf{y} in C, forall lambda in :quad lambda mathbf{x} + (1-lambda) mathbf{y} in C. $$

通過理解凸集，可以進一步學習凸函數、凸優化等更複雜的數學工具。