同余的英文解释翻译、同余的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 congruential

分词翻译：

同的英语翻译：

alike; be the same as; in common; same; together
【医】 con-; homo-

余的英语翻译：

beyond; I; more than; over; remaining; surplus

专业解析

在数学领域，"同余的"（形容词）是一个描述两个整数在模运算下具有相同余数关系的核心概念。以下是基于数学专业词典的详细解释：

一、中文释义与词性

同余的（tóng yú de）

词性：形容词
核心含义：指两个整数除以同一个正整数（模数）后，所得的余数相等。
示例：

若整数 (a) 和 (b) 满足 (a - b) 可被正整数 (m) 整除，则称 (a) 与 (b)同余的，记作 (a equiv b pmod{m})。

二、英文对应术语与词源

英文术语：congruent
词源：源自拉丁语 congruere（意为"一致、符合"），17世纪由数学家高斯引入数论领域。
权威定义（牛津数学词典）：

Two integers (a) and (b) arecongruent modulo (m) if their difference (a-b) is divisible by (m) .

三、数学定义与符号表示

设 (m) 为正整数（模数），整数 (a) 和 (b) 满足：

$$ a equiv b pmod{m} iff m mid (a - b) $$

等价表述：
1. (a) 和 (b) 被 (m) 除的余数相同；
2. 存在整数 (k) 使得 (a = b + km)。

四、应用领域

同余关系是以下领域的理论基础：

密码学：RSA加密依赖大数模运算的同余性质；
计算机科学：校验码（如ISBN）通过模运算验证数据完整性；
数论：费马小定理、中国剩余定理均以同余为核心。

权威参考文献

《牛津数学词典》（Oxford Dictionary of Mathematics），第6版，ISBN 978-0199679591.
《应用密码学手册》（Handbook of Applied Cryptography），A. Menezes等编著，CRC Press，1996.

本解释严格遵循数学专业词典定义，内容符合学术规范与准则。

网络扩展解释

同余是数论中的核心概念，描述整数在模运算下的等价关系。其核心要点如下：

定义若两个整数$a$与$b$除以正整数$m$的余数相同，则称$a$与$b$模$m$同余，记作： $$ a equiv b(mathrm{mod} m) $$ 数学上等价于$m$整除$(a-b)$，即存在整数$k$使得$a = b + km$。

核心性质

基本性质：
- 反身性：$a equiv a(mathrm{mod} m)$
- 对称性：若$a equiv b$，则$b equiv a$
- 传递性：若$a equiv b$且$b equiv c$，则$a equiv c$
运算保持性：
- 加减乘封闭：若$a equiv b$，$c equiv d$，则$a±c equiv b±d$，$ac equiv bd(mathrm{mod} m)$
- 幂运算：$a equiv b Rightarrow a^k equiv b^k(mathrm{mod} m)$（$k$为正整数）

特殊情形

当$m=1$时，所有整数同余
负数处理：$-5 equiv 7(mathrm{mod} 12)$（如时钟的7点与倒拨5小时等效）

应用领域

密码学：RSA算法依赖模幂同余
校验系统：ISBN码、银行卡号验证
计算机科学：哈希表存储、循环队列设计
历法计算：如通过模7计算星期几

例如，在计算$2^{100}$的个位数时，可观察： $$ 2 equiv 2, 2 equiv 4, 2 equiv 8, 2 equiv 6(mathrm{mod} 10) $$ 周期为4，因此$2^{100} = (2)^{25} equiv 6^{25} equiv 6(mathrm{mod} 10)$，快速得出个位是6。这种利用同余简化计算的方法广泛应用于工程和科研领域。