高斯密度英文解釋翻譯、高斯密度的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 gaussian density

分詞翻譯：

高斯的英語翻譯：

gauss
【計】 Gaussian
【醫】 gauss

密度的英語翻譯：

density; thickness
【化】 density
【醫】 density

專業解析

高斯密度（Gaussian Density）是概率論與統計學中對正态分布（Normal Distribution）的概率密度函數的常用表述，其核心描述了一類連續型隨機變量的分布特性。在漢英對照學術術語中，該詞對應英文為“Gaussian density”或“Gaussian distribution”，源自數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯（Carl Friedrich Gauss）對其數學性質的系統研究。

數學定義

高斯密度函數的标準形式為： $$ f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$ 其中，$mu$為均值，$sigma$為标準差。該函數以對稱的鐘形曲線為特征，峰值位于均值處，标準差控制曲線的寬度。

應用領域

統計學：作為中心極限定理的基礎，高斯密度用于描述大量獨立隨機變量之分布，例如人口身高、測量誤差等。
信號處理：在濾波算法（如卡爾曼濾波）中，高斯密度模型被假設為噪聲的統計特性。
機器學習：高斯分布是貝葉斯分類、高斯過程等模型的核心假設之一。

網絡擴展解釋

高斯密度（即高斯概率密度函數）是統計學中描述正态分布的核心數學表達式，其形式為：

$$ f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$

核心概念解釋：

參數意義
- $mu$：均值，決定分布的中心位置。
- $sigma$：标準差（$sigma$為方差），控制分布的寬度和高度。$sigma$越大，曲線越扁平；$sigma$越小，數據越集中在均值附近。
曲線特征
- 對稱性：以均值為中心對稱的鐘形曲線。
- 漸近性：曲線兩端無限接近橫軸但永不相交。
- 面積特性：總面積為1，滿足概率密度函數的歸一化條件。
重要性質
- 68-95-99.7規則：約68%的數據落在$mu pm sigma$内，95%在$mu pm 2sigma$内，99.7%在$mu pm 3sigma$内。
- 中心極限定理：多個獨立隨機變量之和趨近于高斯分布，使其在自然現象（如身高、測量誤差）和統計學中廣泛應用。

實際應用領域：

自然科學：實驗誤差分析、量子力學中的粒子分布。
社會科學：考試成績、經濟指标的分布建模。
機器學習：樸素貝葉斯分類、高斯過程回歸等算法的基礎。

擴展：多元高斯密度

當處理多維數據時，高斯密度可推廣為多元形式，使用協方差矩陣描述變量間的關系，公式為： $$ f(mathbf{x}) = frac{1}{(2pi)^{k/2} |Sigma|^{1/2}} e^{-frac{1}{2} (mathbf{x}-boldsymbol{mu})^T Sigma^{-1} (mathbf{x}-boldsymbol{mu})} $$ 其中，$boldsymbol{mu}$為均值向量，$Sigma$為協方差矩陣，$k$為維度。