導數英文解釋翻譯、導數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 derivative

例句：

撇號置于右上角的符號，用以标明變量的第一個導數
A mark used as a superscript to indicate the first derivative of a variable.

分詞翻譯：

導的英語翻譯：

guide; lead; teach; transmit
【醫】 guidance; guide

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

在數學分析中，導數（Derivative）是描述函數值隨自變量變化快慢程度的核心概念，反映了函數在某一點處的瞬時變化率或切線斜率。以下是其詳細解釋：

一、數學定義

設函數 ( y = f(x) ) 在點 ( x_0 ) 的鄰域内有定義，當自變量增量 (Delta x) 趨近于0時，若函數增量 (Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)) 與 (Delta x) 之比的極限存在，則稱函數在 ( x_0 ) 處可導，該極限值為導數： $$ f'(x0) = lim{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} = lim_{Delta x to 0} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x} $$ 導數也可記作 (frac{dy}{dx}) 或 (frac{df}{dx})（來源：《數學分析（第七版）》，華東師範大學數學科學學院）。

二、幾何意義

導數 ( f'(x_0) ) 表示函數曲線 ( y = f(x) ) 在點 ((x_0, f(x_0))) 處的切線斜率。例如，抛物線 ( y = x ) 在 ( x=1 ) 處的導數為2，即切線斜率為2（來源：Thomas' Calculus, 14th Edition）。

三、物理應用

在物理學中，導數描述運動狀态的變化：

位移對時間的導數：瞬時速度（( v = frac{ds}{dt} )）
速度對時間的導數：瞬時加速度（( a = frac{dv}{dt} )）例如，自由落體運動 ( s(t) = frac{1}{2}gt ) 的導數為速度 ( v(t) = gt )（來源：《高等數學（下冊）》，同濟大學數學系）。

四、英文術語對照

導數：Derivative（一階導數：First-order derivative）
可導：Differentiable
導函數：Derived function
求導法則：Differentiation rules（來源：Oxford Dictionary of Mathematics）。

網絡擴展解釋

導數是微積分中的核心概念，用于描述函數在某一點處的瞬時變化率。以下是詳細解釋：

數學定義導數是函數值的增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，數學表達式為： $$ f'(x) = lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ 這表示當自變量變化極小時，函數變化的敏感程度。
幾何意義導數對應函數圖像在某點的切線斜率。例如曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線斜率即為$f'(x_0)$，這可用于研究曲線的凹凸性、極值點等性質。
物理應用在物理學中，導數表示變化率：

位移對時間的導數是瞬時速度
速度對時間的導數是加速度
熱量傳導速率是溫度對位置的導數

經濟與工程應用

邊際成本是成本函數對産量的導數
信號處理中導數用于分析波形變化率
結構力學中應力是應變能的導數

可導條件函數在某點可導需要滿足：

該點處連續
左導數與右導數存在且相等例如絕對值函數在原點處不可導，因為左右導數不相等。

導數作為分析變化規律的工具，其高階形式（二階導、三階導）還可描述加速度、曲率等更深層特性。理解導數有助于建立微分方程模型，解決實際中的動态變化問題。