代數數系統英文解釋翻譯、代數數系統的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 algebraic number system

分詞翻譯：

代的英語翻譯：

era; generation; take the place of
【電】 generation

數數的英語翻譯：

count; reckon; spillikin

系統的英語翻譯：

system; scheme
【計】 system
【化】 system
【醫】 system; systema
【經】 channel; system

專業解析

代數數系統（Algebraic Number System）指由代數數構成的集合及其上的運算結構。代數數是指滿足整系數多項式方程（非零）的複數，即若存在多項式 ( p(x) = a_n x^n + cdots + a_0 )（( a_i in mathbb{Z} )，且 ( a_n eq 0 )），使得 ( p(alpha) = 0 )，則 ( alpha ) 為代數數。代數數系統具有以下核心特性：

代數數的定義與性質
代數數包含所有有理數（例如 ( sqrt{2} ) 滿足 ( x - 2 = 0 )），但不包含超越數（如 ( pi, e )）。其集合構成一個域（field），即對加、減、乘、除（非零元）封閉。
代數整數與數環
若代數數滿足首一多項式方程（最高次項系數為1），則稱為代數整數（如 ( frac{1+sqrt{-3}}{2} ) 滿足 ( x - x + 1 = 0 )）。代數整數構成一個環（ring），是代數數域的子結構。
系統結構與應用
代數數系統為代數數論的核心對象，用于研究數域的代數擴張、理想分解（如費馬大定理的證明依賴該理論）及丢番圖方程求解。其可數性與超越數的不可數性形成對比（康托爾定理）。

術語漢英對照

代數數: Algebraic number
代數整數: Algebraic integer
超越數: Transcendental number
整系數多項式: Polynomial with integer coefficients
域/環: Field/Ring

參考資料

《數學百科全書》(Encyclopedia of Mathematics), Springer, "Algebraic Number"條目.
Lang, S. Algebraic Number Theory, Springer.
Baker, A. Transcendental Number Theory, Cambridge University Press.

網絡擴展解釋

代數數系統是數學中研究代數數及其結構的重要概念。以下從定義、性質、結構層次和應用四個方面詳細解釋：

1. 定義代數數指滿足非零整系數多項式方程的數，即存在多項式： $$ P(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + cdots + a_0 quad (a_i in mathbb{Z}, a_n eq 0) $$ 使得$P(alpha) = 0$。例如：

$sqrt{2}$滿足$x-2=0$
黃金分割比$(1+sqrt{5})/2$滿足$x-x-1=0$

2. 基本性質代數數集合具有以下特性： (1) 對四則運算封閉：任意兩個代數數的和、差、積、商（除數非零）仍是代數數 (2) 可數無窮集：與自然數存在一一對應關系 (3) 包含所有有理數：有理數$p/q$總滿足$qx-p=0$

3. 結構層次代數數系統形成分層結構：

代數數域：全體代數數構成域，記作$overline{mathbb{Q}}$，是複數域$mathbb{C}$的子域
代數整數環：滿足首一多項式方程的代數數構成環，如$sqrt{2}$是代數整數（滿足$x-2=0$）
數域：有限次代數擴張形成的中間結構，如二次域$mathbb{Q}(sqrt{d})$

4. 數學應用 (1) 數論研究：代數數域中的理想類群、單位群等結構 (2) 方程求解：五次及以上方程不可根式解的理論基礎 (3) 密碼學：橢圓曲線密碼體制中的代數數域運算 (4) 物理應用：量子力學中的代數方法，如李代數表示

對比超越數：不是代數數的複數稱為超越數（如$pi,e$），其系統具有不可數性、更複雜的分析性質。代數數系統與超越數系統共同構成複數域的完整分類。