戴德金割英文解釋翻譯、戴德金割的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Dedekind cut

分詞翻譯：

戴的英語翻譯：

put on; wear

德的英語翻譯：

heart; mind; morals; virtue

金的英語翻譯：

aurum; gold; golden; metals; money
【化】 gold
【醫】 Au; auri-; auro-; aurum; chryso-; gold

割的英語翻譯：

cut; scalpel; shear; skive
【建】 cropping

專業解析

戴德金割（Dedekind Cut）是實數理論的核心概念之一，由德國數學家理查德·戴德金（Richard Dedekind）于1872年提出，旨在通過有理數集嚴謹地構造實數。其定義與性質如下：

一、戴德金割的定義

戴德金割是将有理數集 (mathbb{Q}) 劃分為兩個非空子集 (A) 和 (B)，滿足以下條件：

無遺漏性：(A cup B = mathbb{Q})，且 (A cap B = emptyset)；
有序性：若 (a in A, b in B)，則 (a < b)；
無最大元：(A) 中無最大元素（即對任意 (a in A)，存在 (a' in A) 使得 (a < a')）。

例如，定義 (sqrt{2}) 的戴德金割為：

(A = { x in mathbb{Q} mid x < 2 text{ 或 } x < 0 })
(B = { x in mathbb{Q} mid x geq 2 text{ 且 } x geq 0 })

二、與實數的等價關系

每個戴德金割唯一對應一個實數：

若 (B) 有最小元，則對應有理數（如 (B) 的最小元）；
若 (B) 無最小元，則對應無理數（如上述 (sqrt{2}) 的例子）。

三、漢英術語對照

中文術語	英文術語
戴德金割	Dedekind Cut
有理數集	Set of Rational Numbers
分割	Partition
上/下集合	Upper/Lower Set
實數連續性	Continuity of Real Numbers

四、數學意義

戴德金割解決了實數的連續性問題，填補了有理數集的間隙（如無理數），為微積分奠定了嚴格基礎。其核心公式可表述為： $$ forall a in A, b in B implies a < b quad text{且} quad sup A = inf B. $$

權威參考來源

戴德金原著：
Dedekind, R. Essays on the Theory of Numbers (1872)，首次提出分割概念。

斯坦福哲學百科全書：
Dedekind’s Contributions to the Foundations of Mathematics （詳述其數學哲學背景）

《實分析》教材：
Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis (Chapter 1)，使用戴德金割定義實數系。

網絡擴展解釋

戴德金分割是德國數學家戴德金（Richard Dedekind）在1872年提出的一種實數定義方法，通過有理數的精确分割填補數軸上的“空隙”，從而嚴謹地構建實數體系。以下是其核心要點：

一、基本定義

将所有有理數分為兩個非空集合A和B，滿足以下條件：

有序性：A中的每個數均小于B中的每個數；
無間隙性：A沒有最大元素，B沒有最小元素。

這種分割記作(A, B)，每個分割對應一個實數。若分割點恰為有理數，則對應有理數；若分割點處于有理數的“空隙”中，則對應無理數。

二、分類與實例

對應有理數的分割
例如，将有理數分為A={x | x≤1}和B={x | x>1}，分割點為有理數1。此時A有最大元素1，而B無最小元素。
對應無理數的分割
以√2為例：
- A={所有有理數x | x²<2}
- B={所有有理數x | x²>2}
  該分割在有理數中沒有最大或最小元素，因此對應無理數√2。

三、幾何直觀

将數軸想象為一根标有所有有理數的繩子，用“剪刀”在任意位置剪斷：

剪在有理點上：分割對應該有理數；
剪在空隙處：分割對應無理數（如√2、π等）。

四、意義與影響

解決數學基礎問題：為實數提供了嚴格的邏輯定義，填補了無理數的理論空白。
連續性基礎：證明了實數集的連續性（無“空隙”），成為微積分理論的基石。

補充說明

現代數學進一步發現，有理數的“縫隙”中可能存在更複雜的結構（如超實數），但戴德金分割仍是實數理論的核心工具。