二次型英文解釋翻譯、二次型的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic form

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

型的英語翻譯：

model; mould; type
【醫】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【經】 type

專業解析

二次型（Quadratic Form）是線性代數中的重要概念，指由變量二次齊次多項式構成的數學表達式。從漢英詞典角度可定義為：

二次型（Quadratic Form）

指包含 ( n ) 個變量 ( x_1, x_2, ldots, x_n ) 的二次齊次多項式函數，其一般形式為：

f(x_1, x_2, ldots, xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij} x_i xj quad (a{ij} = a{ji})

其中系數 ( a{ij} ) 構成實對稱矩陣 ( A )，因此可表示為矩陣形式：

f(mathbf{x}) = mathbf{x}^top A mathbf{x}

（( mathbf{x} ) 為列向量）

核心特性與幾何意義

對稱矩陣表示
二次型必對應一個實對稱矩陣 ( A )。通過合同變換（即坐标變換 ( mathbf{x} = Pmathbf{y} )），可将其化為标準型：

$$

f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + cdots + lambda_n y_n

$$

其中 ( lambda_i ) 為矩陣 ( A ) 的特征值。
幾何應用
在三維空間中，二次型對應二次曲面（如橢球面、雙曲面），其正定性（所有特征值正/負）決定曲面類型（開口方向）。

應用領域

優化理論：二次型是優化問題目标函數的基礎形式（如最小二乘法）。
慣性定理：二次型的正/負慣性指數在坐标變換下不變，用于分析系統穩定性。
機器學習：協方差矩陣、核函數等均依賴二次型結構。

權威參考來源：

《線性代數及其應用》（David C. Lay）第7章：二次型與正定矩陣
Wolfram MathWorld: "Quadratic Form"（數學定義與性質）
Springer《矩陣分析》第13章：二次型的幾何分類

網絡擴展解釋

二次型是數學中一種特殊的二次齊次多項式，其核心形式為變量間的二次組合。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

二次型的一般形式為： $$ f(x_1,x_2,...,xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij}x_ixj quad (a{ij}=a_{ji}) $$ 所有項的次數均為2次，例如二維情形： $$ f(x,y) = ax + 2bxy + cy $$

2. 矩陣表示

任何二次型都可表示為： $$ f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x} $$ 其中：

$mathbf{x}$為列向量$(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$A$為對稱矩陣，其對角元$a_{ii}$對應$x_i$系數
非對角元$a{ij}=a{ji}$對應$x_ix_j$項系數的一半

3. 标準形

通過坐标變換可化為标準形： $$ f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + cdots + lambda_n y_n $$ 其中$lambda_i$為矩陣$A$的特征值，對應幾何中的主軸變換。

4. 重要性質

正定性：若所有$lambda_i>0$則為正定，對應抛物面開口向上
合同變換：通過可逆線性替換保持二次型等價類
慣性定理：正負特征值個數在坐标變換下保持不變

5. 應用領域

優化問題：判斷多元函數極值
物理系統：描述剛體轉動慣量
機器學習：核方法中的特征映射
微分幾何：曲面的局部結構分析

二次型的研究為線性代數、微分方程、最優化理論等提供了重要工具，其矩陣表示方法極大簡化了相關運算與分析。