二次型英文解释翻译、二次型的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 quadratic form

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

型的英语翻译：

model; mould; type
【医】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【经】 type

专业解析

二次型（Quadratic Form）是线性代数中的重要概念，指由变量二次齐次多项式构成的数学表达式。从汉英词典角度可定义为：

二次型（Quadratic Form）

指包含 ( n ) 个变量 ( x_1, x_2, ldots, x_n ) 的二次齐次多项式函数，其一般形式为：

f(x_1, x_2, ldots, xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij} x_i xj quad (a{ij} = a{ji})

其中系数 ( a{ij} ) 构成实对称矩阵 ( A )，因此可表示为矩阵形式：

f(mathbf{x}) = mathbf{x}^top A mathbf{x}

（( mathbf{x} ) 为列向量）

核心特性与几何意义

对称矩阵表示
二次型必对应一个实对称矩阵 ( A )。通过合同变换（即坐标变换 ( mathbf{x} = Pmathbf{y} )），可将其化为标准型：

$$

f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + cdots + lambda_n y_n

$$

其中 ( lambda_i ) 为矩阵 ( A ) 的特征值。
几何应用
在三维空间中，二次型对应二次曲面（如椭球面、双曲面），其正定性（所有特征值正/负）决定曲面类型（开口方向）。

应用领域

优化理论：二次型是优化问题目标函数的基础形式（如最小二乘法）。
惯性定理：二次型的正/负惯性指数在坐标变换下不变，用于分析系统稳定性。
机器学习：协方差矩阵、核函数等均依赖二次型结构。

权威参考来源：

《线性代数及其应用》（David C. Lay）第7章：二次型与正定矩阵
Wolfram MathWorld: "Quadratic Form"（数学定义与性质）
Springer《矩阵分析》第13章：二次型的几何分类

网络扩展解释

二次型是数学中一种特殊的二次齐次多项式，其核心形式为变量间的二次组合。以下是详细解释：

1. 基本定义

二次型的一般形式为： $$ f(x_1,x_2,...,xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij}x_ixj quad (a{ij}=a_{ji}) $$ 所有项的次数均为2次，例如二维情形： $$ f(x,y) = ax + 2bxy + cy $$

2. 矩阵表示

任何二次型都可表示为： $$ f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x} $$ 其中：

$mathbf{x}$为列向量$(x_1,x_2,...,x_n)^T$
$A$为对称矩阵，其对角元$a_{ii}$对应$x_i$系数
非对角元$a{ij}=a{ji}$对应$x_ix_j$项系数的一半

3. 标准形

通过坐标变换可化为标准形： $$ f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + cdots + lambda_n y_n $$ 其中$lambda_i$为矩阵$A$的特征值，对应几何中的主轴变换。

4. 重要性质

正定性：若所有$lambda_i>0$则为正定，对应抛物面开口向上
合同变换：通过可逆线性替换保持二次型等价类
惯性定理：正负特征值个数在坐标变换下保持不变

5. 应用领域

优化问题：判断多元函数极值
物理系统：描述刚体转动惯量
机器学习：核方法中的特征映射
微分几何：曲面的局部结构分析

二次型的研究为线性代数、微分方程、最优化理论等提供了重要工具，其矩阵表示方法极大简化了相关运算与分析。