對角矩陣英文解釋翻譯、對角矩陣的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯：
【計】 diagonal matrix
分詞翻譯：
對角的英語翻譯：
on the cross
矩陣的英語翻譯：
matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix
專業解析
對角矩陣（Diagonal Matrix）是線性代數中的核心概念，指除主對角線元素外其餘元素均為零的方陣。其英文定義為："A square matrix where all entries outside the main diagonal are zero, while the diagonal entries can be any scalar values"（來源：Wolfram MathWorld）。數學表達式可表示為：
$$
D = begin{pmatrix}
d{11} & 0 & cdots & 0
0 & d{22} & cdots & 0
vdots & vdots & ddots & vdots
0 & 0 & cdots & d_{nn}
end{pmatrix}
$$
關鍵特性與作用
- 簡化運算：對角矩陣的乘法、幂運算可通過直接操作對角元素完成，例如兩個對角矩陣相乘等價于對角元素分别相乘（來源：MIT OpenCourseWare）。
- 特征值顯式表達：對角矩陣的主對角線元素即為該矩陣的特征值，這一特性使其在物理系統建模和工程穩定性分析中廣泛應用。
- 特殊類型擴展：包括單位矩陣（單位對角矩陣）、标量矩陣等，其中單位矩陣是深度學習參數初始化的重要工具（來源：Springer《Matrix Analysis》）。
應用場景
- 信號處理：用于設計線性濾波器系數矩陣
- 量子力學：表示可觀測量的本征态系統
- 機器學習：作為神經網絡層間的權重縮放矩陣
該術語的權威定義可參考劍橋大學數學詞典（Cambridge Mathematics Dictionary）及IEEE标準數學庫（IEEE Std 1003.1-2017）。
網絡擴展解釋
對角矩陣（Diagonal Matrix）是線性代數中的一種特殊方陣，其核心特點是非零元素僅出現在主對角線（從左上到右下的對角線）上，其餘位置的元素均為零。以下是詳細解釋：
定義與結構
- 數學形式：若一個( n times n )矩陣( D )滿足：
$$
D_{ij} =
begin{cases}
d_i & text{當 } i = j
0 & text{當 } i
eq j
end{cases}
$$
其中( d_i )為任意實數或複數，則稱( D )為對角矩陣。
- 示例：
$$
begin{pmatrix}
2 & 0 & 0
0 & 5 & 0
0 & 0 & -1
end{pmatrix}
$$
核心性質
-
運算簡化：
- 加減法：僅需對應主對角線元素相加減。
- 乘法：兩個對角矩陣相乘時，結果仍為對角矩陣，且每個元素是對應位置元素的乘積。
- 幂運算：( D^k )隻需對每個主對角元素單獨取( k )次幂。
-
行列式：對角矩陣的行列式為主對角線元素的乘積，即：
$$
det(D) = d_1 cdot d_2 cdot ldots cdot d_n
$$
-
可逆性：當所有主對角元素( d_i
eq 0 )時，對角矩陣可逆，其逆矩陣為：
$$
D^{-1} = text{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, ldots, d_n^{-1})
$$
特殊類型
- 标量矩陣：主對角元素全相同的對角矩陣，例如( cI )（( c )為常數，( I )為單位矩陣）。
- 單位矩陣：主對角元素全為1的對角矩陣，是标量矩陣的特例。
應用場景
- 線性變換：對角矩陣常用于表示坐标系的縮放變換（如三維空間中的縮放）。
- 特征值分解：若矩陣可對角化，其可表示為( PDP^{-1} )，其中( D )為特征值構成的對角矩陣。
- 解微分方程：在常微分方程組中，對角矩陣能簡化耦合方程的求解。
與非對角矩陣的對比
- 一般矩陣：元素分布無限制，運算複雜。
- 三角矩陣：非零元素僅出現在主對角線及以上（上三角）或以下（下三角）。
- 對稱矩陣：滿足( A = A^T )，但對角矩陣一定是對稱矩陣的特殊情況。
總結來說，對角矩陣因其結構的簡潔性，在理論推導和實際計算中具有重要價值，尤其在簡化複雜運算時作用顯著。
分類
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
别人正在浏覽...
保護接地并行控制保護不公平競争詫異地赤桉存儲器輸入當歸單斜面坡口電路交換網路訂約堆裝費光學異構函數說明黃銅接頭浸入取樣法酒徒處置法記帳制度老頭掌氨麥廓裡氏試驗内髒小神經旁瓣電平強制性規則少數發育型的神經胞質的睡時蘇型雙全同立構調用入口投射束突然地妄想性木僵
