对角矩阵英文解释翻译、对角矩阵的近义词、反义词、例句
英语翻译：
【计】 diagonal matrix
分词翻译：
对角的英语翻译：
on the cross
矩阵的英语翻译：
matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix
专业解析
对角矩阵（Diagonal Matrix）是线性代数中的核心概念，指除主对角线元素外其余元素均为零的方阵。其英文定义为："A square matrix where all entries outside the main diagonal are zero, while the diagonal entries can be any scalar values"（来源：Wolfram MathWorld）。数学表达式可表示为：
$$
D = begin{pmatrix}
d{11} & 0 & cdots & 0
0 & d{22} & cdots & 0
vdots & vdots & ddots & vdots
0 & 0 & cdots & d_{nn}
end{pmatrix}
$$
关键特性与作用
- 简化运算：对角矩阵的乘法、幂运算可通过直接操作对角元素完成，例如两个对角矩阵相乘等价于对角元素分别相乘（来源：MIT OpenCourseWare）。
- 特征值显式表达：对角矩阵的主对角线元素即为该矩阵的特征值，这一特性使其在物理系统建模和工程稳定性分析中广泛应用。
- 特殊类型扩展：包括单位矩阵（单位对角矩阵）、标量矩阵等，其中单位矩阵是深度学习参数初始化的重要工具（来源：Springer《Matrix Analysis》）。
应用场景
- 信号处理：用于设计线性滤波器系数矩阵
- 量子力学：表示可观测量的本征态系统
- 机器学习：作为神经网络层间的权重缩放矩阵
该术语的权威定义可参考剑桥大学数学词典（Cambridge Mathematics Dictionary）及IEEE标准数学库（IEEE Std 1003.1-2017）。
网络扩展解释
对角矩阵（Diagonal Matrix）是线性代数中的一种特殊方阵，其核心特点是非零元素仅出现在主对角线（从左上到右下的对角线）上，其余位置的元素均为零。以下是详细解释：
定义与结构
- 数学形式：若一个( n times n )矩阵( D )满足：
$$
D_{ij} =
begin{cases}
d_i & text{当 } i = j
0 & text{当 } i
eq j
end{cases}
$$
其中( d_i )为任意实数或复数，则称( D )为对角矩阵。
- 示例：
$$
begin{pmatrix}
2 & 0 & 0
0 & 5 & 0
0 & 0 & -1
end{pmatrix}
$$
核心性质
-
运算简化：
- 加减法：仅需对应主对角线元素相加减。
- 乘法：两个对角矩阵相乘时，结果仍为对角矩阵，且每个元素是对应位置元素的乘积。
- 幂运算：( D^k )只需对每个主对角元素单独取( k )次幂。
-
行列式：对角矩阵的行列式为主对角线元素的乘积，即：
$$
det(D) = d_1 cdot d_2 cdot ldots cdot d_n
$$
-
可逆性：当所有主对角元素( d_i
eq 0 )时，对角矩阵可逆，其逆矩阵为：
$$
D^{-1} = text{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, ldots, d_n^{-1})
$$
特殊类型
- 标量矩阵：主对角元素全相同的对角矩阵，例如( cI )（( c )为常数，( I )为单位矩阵）。
- 单位矩阵：主对角元素全为1的对角矩阵，是标量矩阵的特例。
应用场景
- 线性变换：对角矩阵常用于表示坐标系的缩放变换（如三维空间中的缩放）。
- 特征值分解：若矩阵可对角化，其可表示为( PDP^{-1} )，其中( D )为特征值构成的对角矩阵。
- 解微分方程：在常微分方程组中，对角矩阵能简化耦合方程的求解。
与非对角矩阵的对比
- 一般矩阵：元素分布无限制，运算复杂。
- 三角矩阵：非零元素仅出现在主对角线及以上（上三角）或以下（下三角）。
- 对称矩阵：满足( A = A^T )，但对角矩阵一定是对称矩阵的特殊情况。
总结来说，对角矩阵因其结构的简洁性，在理论推导和实际计算中具有重要价值，尤其在简化复杂运算时作用显著。
分类
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