對角化的英文解釋翻譯、對角化的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 diagonalizable

分詞翻譯：

對角的英語翻譯：

on the cross

化的英語翻譯：

burn up; change; convert; melt; spend; turn

專業解析

對角化（Diagonalization）是線性代數中的核心概念，指通過相似變換将方陣轉化為對角矩陣的過程。以下是其詳細解釋：

一、數學定義

若存在可逆矩陣 ( P ) 和對角矩陣 ( D ) 使得 ( P^{-1}AP = D )，則稱方陣 ( A ) 可對角化。其中：

( D ) 的主對角線元素是 ( A ) 的特征值
( P ) 的列向量由 ( A ) 的線性無關特征向量構成公式表達為： $$ A = PDP^{-1} $$

二、應用場景

簡化矩陣運算
對角矩陣的幂和指數計算可直接對對角線元素操作，例如： $$ A^k = PD^kP^{-1} $$ 在量子力學中用于求解哈密頓算符的本征态問題。
系統穩定性分析
控制理論中通過特征值判斷動力系統穩定性，負實部特征值對應穩定模式。
數據科學降維
主成分分析（PCA）依賴協方差矩陣的對角化實現特征提取，廣泛應用于統計學和機器學習。

三、可對角化條件

矩陣 ( A ) 可對角化當且僅當滿足：

有 ( n ) 個線性無關的特征向量（( n ) 為矩陣階數）
幾何重數等于代數重數（針對每個特征值）

權威參考資料

MIT線性代數課程筆記 - 對角化定理證明與應用案例
Wolfram MathWorld - 數學定義與性質形式化描述
《Linear Algebra and Its Applications》 - Gilbert Strang著，第5章詳述對角化工程應用

注：對角化要求矩陣為方陣且特征向量完備，對于退化矩陣（如缺失特征向量）需采用若爾當标準型處理。

網絡擴展解釋

對角化是線性代數中一個重要的概念，指通過相似變換将方陣轉換為對角矩陣的過程。以下是其核心要點：

一、定義與基本形式

若存在可逆矩陣 ( P ) 和對角矩陣 ( D )，使得 ( P^{-1}AP = D )，則稱矩陣 ( A )可對角化。此時：

( D ) 的主對角線元素是 ( A ) 的特征值；
( P ) 的列向量是 ( A ) 對應的線性無關的特征向量。

二、對角化的條件

矩陣 ( A ) 可對角化需滿足以下條件之一：

特征向量條件：( A ) 有 ( n ) 個線性無關的特征向量（( n ) 為矩陣階數）；
特征值條件：所有特征值的代數重數等于幾何重數（即每個特征值對應的特征向量空間維度足夠）。

三、對角化的步驟

求特征值：解特征方程 ( det(A - lambda I) = 0 )；
求特征向量：對每個特征值 ( lambda )，解齊次方程組 ( (A - lambda I)mathbf{x} = 0 )；
構造矩陣 ( P ) 和 ( D )：将特征向量作為 ( P ) 的列，特征值按順序排列為 ( D ) 的對角元素；
驗證：檢查 ( P ) 是否可逆，并确認 ( P^{-1}AP = D )。

四、應用與意義

簡化矩陣運算：對角矩陣的幂、指數等運算可直接對對角線元素操作，例如 ( A^k = PD^kP^{-1} )；
解線性微分方程組：通過解耦變量簡化系統；
物理與工程：用于量子力學中的态分解、振動分析的主軸定理等。

五、不可對角化的情況

若矩陣不滿足對角化條件（如存在重複特征值但幾何重數不足），則需采用若爾當标準形（Jordan Form）作為替代。

通過對角化，複雜的矩陣問題可轉化為更易處理的對角矩陣問題，這是線性代數在科學與工程中廣泛應用的基礎工具之一。