多極展開式英文解釋翻譯、多極展開式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 multipole expansion

分詞翻譯：

多極的英語翻譯：

【計】 multipole

展開的英語翻譯：

spread; unfold; deploy; evolve; open; carry out; splay; stream
【計】 deployment; expand; spread
【化】 development

式的英語翻譯：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【醫】 F.; feature; formula; Ty.; type

專業解析

多極展開式（Multipole Expansion）是一種重要的數學工具，用于将空間分布的電荷、電流或質量産生的場（如電場、磁場、引力場）在遠離源區的地方近似表示為一系列簡單項（多極矩）的疊加。它在電磁學、引力理論、聲學等領域有廣泛應用。

一、核心概念

物理意義
多極展開将複雜源産生的場分解為不同“極”的貢獻：
- 單極（Monopole）：對應總電荷或總質量，産生類似點源的場（如庫侖定律、萬有引力定律）。
- 偶極（Dipole）：描述正負電荷分離或質量分布不對稱性（如電偶極矩、磁偶極矩）。
- 四極（Quadrupole）：反映更複雜的分布對稱性（如地球引力場的微小偏離）。
- 高階極（如八極）：刻畫更精細的結構細節。
數學本質
利用球諧函數（Spherical Harmonics）或勒讓德多項式（Legendre Polynomials）對 ( frac{1}{|mathbf{r}-mathbf{r}'|} ) 進行級數展開。以靜電勢為例：

$$ phi(mathbf{r}) = frac{1}{4piepsilon0} sum{l=0}^{infty} sum{m=-l}^{l} frac{4pi}{2l+1} q{lm} frac{Y{lm}(theta,phi)}{r^{l+1}} $$ 其中 ( q{lm} ) 是 ( 2^l )-極矩的複數分量，( Y_{lm} ) 是球諧函數。

二、關鍵多極矩及其物理意義

多極矩類型	數學表達式	物理意義
電單極矩	( q = int rho , dV )	系統總電荷
電偶極矩	( mathbf{p} = int mathbf{r}' rho , dV )	電荷分布的中心偏移
電四極矩	( Q_{ij} = int (3r'_i r'j - r' delta{ij}) rho , dV )	電荷分布的橢球狀偏離

三、典型應用場景

電磁輻射分析：天線遠場輻射模式可通過多極展開建模，偶極輻射是基礎模型。
分子靜電勢：化學中用于計算分子間相互作用力，如水分子的偶極矩影響氫鍵。
地球重力場建模：衛星測量地球引力場時，四極矩項（( J_2 )）解釋地球扁率的影響。
核物理：原子核的電四極矩表征其偏離球形的程度。

四、展開收斂條件

展開的有效性要求觀測點到源區的距離 ( r ) 遠大于源尺寸 ( d )（即 ( r gg d )）。高階項衰減速度 ( propto 1/r^{l+1} )，因此遠場通常隻需截取前幾項。

權威參考文獻

Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics (電動力學基礎), 4th Ed., Cambridge University Press, 2017. Chapter 3: Multipole Expansion
Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (經典電動力學), 3rd Ed., Wiley, 1999. Section 4.1: Multipole Fields
中國科學出版社《理論物理學手冊》第二卷：電磁多極展開理論（2020）PDF鍊接

網絡擴展解釋

多極展開式是用于描述複雜電荷分布産生的電勢或電場的數學方法，通過将其分解為不同階次的極矩（如單極、偶極、四極等）的疊加，從而簡化遠場分析。以下是詳細解釋：

1.基本概念

多極展開式的核心思想是将空間中的電勢或電場近似為一系列極矩的貢獻，其階次越高，對遠場的影響越小。例如，在靜電學中，若電荷分布區域遠小于到場點的距離，電勢可展開為： $$ phi(mathbf{r}) = frac{1}{4piepsilon0} left[ frac{Q}{r} + frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{r} + frac{1}{2} sum Q{ij} frac{r_i r_j}{r} + cdots right] $$ 其中：

電單極矩（Q）：總電荷的貢獻，對應點電荷效應。
電偶極矩（p）：正負電荷中心偏離的宏觀效應。
電四極矩（Q_{ij}）：描述電荷分布更高階的非對稱性。

2.各階項的物理意義

單極項（Q）：将整個電荷系統簡化為位于原點的等效點電荷，適用于總電荷非零的對稱分布。
偶極項（p）：反映系統正負電荷分離的程度，如電偶極子産生的電勢隨距離衰減更快（∝1/r²）。
四極項（Q_{ij}）：描述更複雜的電荷分布形狀（如橢球形），其電勢衰減速度更快（∝1/r³）。

3.數學推導

通過泰勒展開電勢表達式中的格林函數（1/|r - r'|），将電荷分布分解為不同階次的極矩： $$ frac{1}{|mathbf{r} - mathbf{r'}|} = frac{1}{r} + frac{mathbf{r'} cdot mathbf{r}}{r} + frac{1}{2} frac{3(mathbf{r'} cdot mathbf{r}) - r r'}{r} + cdots $$ 積分後得到各階矩的貢獻。

4.應用領域

電磁學：分析複雜電荷或電流分布的遠場行為。
納米光子學：計算微納結構的光散射或輻射特性。
材料科學：研究各向異性介質的電響應（如電四極矩在非對稱介質中的表現）。

5.擴展說明

坐标系選擇：多極展開可在球坐标系或笛卡爾坐标系中進行，兩者通過張量變換關聯。
衰減特性：高階極矩的貢獻隨距離增加迅速減小，因此遠場分析通常隻需保留前幾項。

通過這種展開，複雜系統的電場/電勢問題可逐階近似，顯著簡化計算，尤其在遠場或對稱性較強的場景中效果顯著。