對數積分英文解釋翻譯、對數積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 logarithmic integral

分詞翻譯：

對數的英語翻譯：

logarithm
【計】 logarithmic
【經】 logarithm

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

對數積分（Logarithmic Integral，記作$text{li}(x)$）是數學分析中的一種特殊函數，在數論和物理領域具有重要應用。其定義與積分形式相關，尤其在素數分布研究中起到核心作用。以下是基于權威數學詞典及文獻的詳細解釋：

1. 定義與數學表達式

對數積分的标準定義為：

$$ text{li}(x) = int0^x frac{dt}{ln t} quad (x e 1)

$$

為避免積分在$t=1$處的奇異性，實際應用中常采用柯西主值形式：

$$ text{li}(x) = lim{varepsilon to 0^+} left( int0^{1-varepsilon} frac{dt}{ln t} + int{1+varepsilon}^x frac{dt}{ln t} right)

此函數與積分指數函數$text{Ei}(x)$密切相關，兩者可通過解析延拓相互轉化。

2. 數論中的核心地位

在數論中，對數積分是素數定理的關鍵組成部分。素數定理表明，小于$x$的素數數量$pi(x)$滿足：

$$ pi(x) sim text{li}(x) quad (x to infty)

這一漸近關系由高斯提出，并由阿達馬和瓦萊-普桑證明。相較于其他近似函數（如$x/ln x$），$text{li}(x)$能更精确地逼近素數分布。

3. 擴展形式與數值計算

對數積分的常用擴展包括：

平移形式：$text{Li}(x) = text{li}(x) - text{li}(2)$，用于消除積分下限的奇異性。
漸近展開式：
$$ text{li}(x) sim frac{x}{ln x} sum_{k=0}^infty frac{k!}{(ln x)^k}

$$

該展開式在$x to infty$時收斂性顯著，被廣泛應用于工程計算。

4. 物理與工程應用

在物理學中，對數積分出現在熱傳導方程、電磁場理論及量子力學散射問題中。例如，在半導體載流子濃度模型中，$text{li}(x)$用于描述載流子隨電勢的分布特性。

權威參考資料

定義與積分性質：NIST《數學函數手冊》第6章
數論應用：Hardy & Wright《數論導引》
漸近展開：Abramowitz & Stegun《數學函數手冊》
物理應用：Springer《應用數學百科全書》

網絡擴展解釋

對數積分（Logarithmic Integral Function）是一種重要的特殊函數，在數論、物理學和工程學中均有廣泛應用。其定義和性質如下：

1.定義

對數積分通常記作 (text{li}(x)) 或 (text{Li}(x))，有兩種常見定義形式：

标準定義（含主值積分）： [ text{li}(x) = int_0^x frac{dt}{ln t} quad (x e 1) ] 其中，當積分路徑經過奇點 (t=1) 時，需取柯西主值。
數論中常用定義（避免奇點）： [ text{Li}(x) = int_2^x frac{dt}{ln t} ] 這種形式避開了 (t=1) 處的奇異性，常用于素數分布相關研究。

2.與素數定理的關系

對數積分在數論中的核心地位源于素數定理：當 (x to infty) 時，素數計數函數 (pi(x))（即不超過 (x) 的素數個數）滿足： [ pi(x) sim text{Li}(x) quad text{或} quad pi(x) sim frac{x}{ln x} ] 其中 (text{Li}(x)) 提供的近似比 (frac{x}{ln x}) 更精确。

3.漸近展開

當 (x) 較大時，對數積分可通過漸近展開近似為： [ text{Li}(x) sim frac{x}{ln x} left( 1 + frac{1!}{ln x} + frac{2!}{(ln x)} + cdots right) ] 這一展開式揭示了其對高階項的修正能力。

4.與其他函數的關系

指數積分：(text{li}(x) = text{Ei}(ln x))，其中 (text{Ei}) 為指數積分函數。
積分對數函數：部分文獻将 (text{Li}(x)) 定義為 (text{li}(x) - text{li}(2))，以消除奇點影響。

5.應用領域

數論：研究素數分布、黎曼猜想相關分析。
物理學：出現在量子力學和熱傳導方程的特定解中。
工程學：用于信號處理與概率模型。

示例計算

對于 (x=10)，(text{Li}(10) approx 5.120)，而 (pi(10)=4)，顯示了對數積分對素數分布的逼近特性。

如需具體數值計算，可通過數學軟件（如 Mathematica）或查表實現。