对数积分英文解释翻译、对数积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 logarithmic integral

分词翻译：

对数的英语翻译：

logarithm
【计】 logarithmic
【经】 logarithm

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

对数积分（Logarithmic Integral，记作$text{li}(x)$）是数学分析中的一种特殊函数，在数论和物理领域具有重要应用。其定义与积分形式相关，尤其在素数分布研究中起到核心作用。以下是基于权威数学词典及文献的详细解释：

1. 定义与数学表达式

对数积分的标准定义为：

$$ text{li}(x) = int0^x frac{dt}{ln t} quad (x e 1)

$$

为避免积分在$t=1$处的奇异性，实际应用中常采用柯西主值形式：

$$ text{li}(x) = lim{varepsilon to 0^+} left( int0^{1-varepsilon} frac{dt}{ln t} + int{1+varepsilon}^x frac{dt}{ln t} right)

此函数与积分指数函数$text{Ei}(x)$密切相关，两者可通过解析延拓相互转化。

2. 数论中的核心地位

在数论中，对数积分是素数定理的关键组成部分。素数定理表明，小于$x$的素数数量$pi(x)$满足：

$$ pi(x) sim text{li}(x) quad (x to infty)

这一渐近关系由高斯提出，并由阿达马和瓦莱-普桑证明。相较于其他近似函数（如$x/ln x$），$text{li}(x)$能更精确地逼近素数分布。

3. 扩展形式与数值计算

对数积分的常用扩展包括：

平移形式：$text{Li}(x) = text{li}(x) - text{li}(2)$，用于消除积分下限的奇异性。
渐近展开式：
$$ text{li}(x) sim frac{x}{ln x} sum_{k=0}^infty frac{k!}{(ln x)^k}

$$

该展开式在$x to infty$时收敛性显著，被广泛应用于工程计算。

4. 物理与工程应用

在物理学中，对数积分出现在热传导方程、电磁场理论及量子力学散射问题中。例如，在半导体载流子浓度模型中，$text{li}(x)$用于描述载流子随电势的分布特性。

权威参考资料

定义与积分性质：NIST《数学函数手册》第6章
数论应用：Hardy & Wright《数论导引》
渐近展开：Abramowitz & Stegun《数学函数手册》
物理应用：Springer《应用数学百科全书》

网络扩展解释

对数积分（Logarithmic Integral Function）是一种重要的特殊函数，在数论、物理学和工程学中均有广泛应用。其定义和性质如下：

1.定义

对数积分通常记作 (text{li}(x)) 或 (text{Li}(x))，有两种常见定义形式：

标准定义（含主值积分）： [ text{li}(x) = int_0^x frac{dt}{ln t} quad (x e 1) ] 其中，当积分路径经过奇点 (t=1) 时，需取柯西主值。
数论中常用定义（避免奇点）： [ text{Li}(x) = int_2^x frac{dt}{ln t} ] 这种形式避开了 (t=1) 处的奇异性，常用于素数分布相关研究。

2.与素数定理的关系

对数积分在数论中的核心地位源于素数定理：当 (x to infty) 时，素数计数函数 (pi(x))（即不超过 (x) 的素数个数）满足： [ pi(x) sim text{Li}(x) quad text{或} quad pi(x) sim frac{x}{ln x} ] 其中 (text{Li}(x)) 提供的近似比 (frac{x}{ln x}) 更精确。

3.渐近展开

当 (x) 较大时，对数积分可通过渐近展开近似为： [ text{Li}(x) sim frac{x}{ln x} left( 1 + frac{1!}{ln x} + frac{2!}{(ln x)} + cdots right) ] 这一展开式揭示了其对高阶项的修正能力。

4.与其他函数的关系

指数积分：(text{li}(x) = text{Ei}(ln x))，其中 (text{Ei}) 为指数积分函数。
积分对数函数：部分文献将 (text{Li}(x)) 定义为 (text{li}(x) - text{li}(2))，以消除奇点影响。

5.应用领域

数论：研究素数分布、黎曼猜想相关分析。
物理学：出现在量子力学和热传导方程的特定解中。
工程学：用于信号处理与概率模型。

示例计算

对于 (x=10)，(text{Li}(10) approx 5.120)，而 (pi(10)=4)，显示了对数积分对素数分布的逼近特性。

如需具体数值计算，可通过数学软件（如 Mathematica）或查表实现。