對偶非線性規劃英文解釋翻譯、對偶非線性規劃的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dual nonlinear programming

分詞翻譯：

對偶的英語翻譯：

【計】 antithetic
【醫】 allelo-

非的英語翻譯：

blame; evildoing; have to; non-; not; wrong
【計】 negate; NOT; not that
【醫】 non-

線的英語翻譯：

clue; line; string; stringy; thread; tie; verge; wire
【醫】 line; line Of occlusion; linea; lineae; lineae poplitea; mito-; nemato-
soleal line; strand; thread
【經】 line

規劃的英語翻譯：

mark out; plan; program; programming
【計】 planning
【醫】 schema; scheme
【經】 plan; planning; projection; scheme

專業解析

對偶非線性規劃 (Dual Nonlinear Programming)

1. 基本概念 (Basic Concept)

對偶非線性規劃是數學規劃的核心分支，研究原始非線性優化問題與其對偶問題之間的理論關系。原始問題通常描述為最小化目标函數受約束于等式與不等式條件，而對偶問題則通過拉格朗日函數構造，旨在提供原始問題最優值的下界估計。這一理論在經濟學、工程優化等領域具有廣泛應用，例如資源定價與影子價格分析。

2. 數學模型 (Mathematical Formulation)

原始問題 (Primal Problem)：
$$ begin{align} min_{x}& quad f(x) text{s.t.} & quad g_i(x) leq 0,i=1,ldots,m & quad h_j(x) = 0,j=1,ldots,p end{align} $$

其中 ( x in mathbb{R}^n ) 為決策變量，( f(x) ) 為目标函數，( g_i(x) ) 和 ( h_j(x) ) 為約束函數。
對偶問題 (Dual Problem)：
通過拉格朗日函數 ( L(x, lambda, u) = f(x) + sum_{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^p u_j hj(x) ) 定義，對偶函數為：

$$ d(lambda, u) = inf{x} L(x, lambda, u) $$

對偶問題即最大化 ( d(lambda, u) )，且需滿足 ( lambda geq 0 ) 。

3. 理論與應用價值 (Theoretical and Practical Value)

弱對偶性 (Weak Duality)：對偶問題的最優值始終不大于原始問題的最優值（即 ( d^ leq p^ )），為算法設計提供收斂性保障。
強對偶性 (Strong Duality)：在凸問題且滿足約束品性（如Slater條件）時，( d^ = p^ )，且對偶間隙為零，支撐了鞍點存在性證明。
應用場景：在電力系統調度中，對偶變量對應節點邊際電價；在機器學習中，支持向量機（SVM）的核方法依賴對偶形式求解非線性分類問題。

4. 求解算法與挑戰 (Algorithms and Challenges)

常用方法包括拉格朗日對偶上升法、次梯度法，以及針對凸問題的内點法。非凸問題的對偶間隙可能導緻求解困難，需結合啟發式策略或凸松弛技術。

來源：

Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer.
Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
Bertsekas, D. P. (1999). Nonlinear Programming. Athena Scientific.

網絡擴展解釋

對偶非線性規劃是非線性規劃中的一個重要分支，通過構造對偶問題來研究原始優化問題的性質和解的結構。以下是其核心要點：

1.定義

對偶非線性規劃指将原始非線性優化問題（如含目标函數和不等式約束的問題）轉化為對偶問題，利用對偶性理論分析兩者的關系。其核心是通過引入對偶變量（如Lagrange乘子），将約束條件整合到目标函數中，形成對偶優化模型。

2.核心思想

對偶轉化：通過構造Lagrange函數，将原始問題中的約束條件轉化為對偶變量的優化目标。例如，原始問題為： $$min_x f(x) quad text{s.t.} quad g_i(x) ge 0, h_j(x)=0,$$ 對應的Lagrange函數為： $$L(x, lambda, mu) = f(x) - sum lambda_i g_i(x) - sum mu_j h_j(x),$$ 進而通過對偶變量（$lambda, mu$）求解對偶問題。
對偶性定理：弱對偶定理保證對偶問題的解是原始問題的下界；強對偶定理（在凸性條件下成立）表明兩者最優值相等。

3.理論基礎

KKT條件：原始問題的最優解需滿足KKT條件（一階必要性條件），包含梯度為零、互補松弛性等約束。
Canonical對偶理論：通過構造凸優化形式的對偶問題，簡化非線性規劃的求解，尤其在非凸問題中通過引入罰函數處理約束。

4.應用領域

工業優化：資源分配、生産調度等場景中處理非線性約束。
最優控制：如機器人路徑規劃中的動态約束轉化為對偶變量優化。
經濟與金融：投資組合優化、風險分析等複雜模型的求解。

5.對偶模型的關系

在特定條件下（如凸性、似凸性約束），不同對偶模型（如Lagrange對偶、Fenchel對偶）可能等價。例如，Wolfe對偶和Schechter對偶在凸規劃中具有一緻性。

對偶非線性規劃通過數學變換将複雜問題轉化為更易求解的形式，其核心依賴對偶性理論和優化條件。實際應用中需結合問題特性選擇對偶模型，并驗證凸性等前提條件。更多細節可參考道客巴巴的高權威性文獻。