对偶非线性规划英文解释翻译、对偶非线性规划的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual nonlinear programming

分词翻译：

对偶的英语翻译：

【计】 antithetic
【医】 allelo-

非的英语翻译：

blame; evildoing; have to; non-; not; wrong
【计】 negate; NOT; not that
【医】 non-

线的英语翻译：

clue; line; string; stringy; thread; tie; verge; wire
【医】 line; line Of occlusion; linea; lineae; lineae poplitea; mito-; nemato-
soleal line; strand; thread
【经】 line

规划的英语翻译：

mark out; plan; program; programming
【计】 planning
【医】 schema; scheme
【经】 plan; planning; projection; scheme

专业解析

对偶非线性规划 (Dual Nonlinear Programming)

1. 基本概念 (Basic Concept)

对偶非线性规划是数学规划的核心分支，研究原始非线性优化问题与其对偶问题之间的理论关系。原始问题通常描述为最小化目标函数受约束于等式与不等式条件，而对偶问题则通过拉格朗日函数构造，旨在提供原始问题最优值的下界估计。这一理论在经济学、工程优化等领域具有广泛应用，例如资源定价与影子价格分析。

2. 数学模型 (Mathematical Formulation)

原始问题 (Primal Problem)：
$$ begin{align} min_{x}& quad f(x) text{s.t.} & quad g_i(x) leq 0,i=1,ldots,m & quad h_j(x) = 0,j=1,ldots,p end{align} $$

其中 ( x in mathbb{R}^n ) 为决策变量，( f(x) ) 为目标函数，( g_i(x) ) 和 ( h_j(x) ) 为约束函数。
对偶问题 (Dual Problem)：
通过拉格朗日函数 ( L(x, lambda, u) = f(x) + sum_{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^p u_j hj(x) ) 定义，对偶函数为：

$$ d(lambda, u) = inf{x} L(x, lambda, u) $$

对偶问题即最大化 ( d(lambda, u) )，且需满足 ( lambda geq 0 ) 。

3. 理论与应用价值 (Theoretical and Practical Value)

弱对偶性 (Weak Duality)：对偶问题的最优值始终不大于原始问题的最优值（即 ( d^ leq p^ )），为算法设计提供收敛性保障。
强对偶性 (Strong Duality)：在凸问题且满足约束品性（如Slater条件）时，( d^ = p^ )，且对偶间隙为零，支撑了鞍点存在性证明。
应用场景：在电力系统调度中，对偶变量对应节点边际电价；在机器学习中，支持向量机（SVM）的核方法依赖对偶形式求解非线性分类问题。

4. 求解算法与挑战 (Algorithms and Challenges)

常用方法包括拉格朗日对偶上升法、次梯度法，以及针对凸问题的内点法。非凸问题的对偶间隙可能导致求解困难，需结合启发式策略或凸松弛技术。

来源：

Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer.
Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
Bertsekas, D. P. (1999). Nonlinear Programming. Athena Scientific.

网络扩展解释

对偶非线性规划是非线性规划中的一个重要分支，通过构造对偶问题来研究原始优化问题的性质和解的结构。以下是其核心要点：

1.定义

对偶非线性规划指将原始非线性优化问题（如含目标函数和不等式约束的问题）转化为对偶问题，利用对偶性理论分析两者的关系。其核心是通过引入对偶变量（如Lagrange乘子），将约束条件整合到目标函数中，形成对偶优化模型。

2.核心思想

对偶转化：通过构造Lagrange函数，将原始问题中的约束条件转化为对偶变量的优化目标。例如，原始问题为： $$min_x f(x) quad text{s.t.} quad g_i(x) ge 0, h_j(x)=0,$$ 对应的Lagrange函数为： $$L(x, lambda, mu) = f(x) - sum lambda_i g_i(x) - sum mu_j h_j(x),$$ 进而通过对偶变量（$lambda, mu$）求解对偶问题。
对偶性定理：弱对偶定理保证对偶问题的解是原始问题的下界；强对偶定理（在凸性条件下成立）表明两者最优值相等。

3.理论基础

KKT条件：原始问题的最优解需满足KKT条件（一阶必要性条件），包含梯度为零、互补松弛性等约束。
Canonical对偶理论：通过构造凸优化形式的对偶问题，简化非线性规划的求解，尤其在非凸问题中通过引入罚函数处理约束。

4.应用领域

工业优化：资源分配、生产调度等场景中处理非线性约束。
最优控制：如机器人路径规划中的动态约束转化为对偶变量优化。
经济与金融：投资组合优化、风险分析等复杂模型的求解。

5.对偶模型的关系

在特定条件下（如凸性、似凸性约束），不同对偶模型（如Lagrange对偶、Fenchel对偶）可能等价。例如，Wolfe对偶和Schechter对偶在凸规划中具有一致性。

对偶非线性规划通过数学变换将复杂问题转化为更易求解的形式，其核心依赖对偶性理论和优化条件。实际应用中需结合问题特性选择对偶模型，并验证凸性等前提条件。更多细节可参考道客巴巴的高权威性文献。