歐幾裡得算法英文解釋翻譯、歐幾裡得算法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Euclidean algorithm

分詞翻譯：

歐的英語翻譯：

【醫】 ohm

幾的英語翻譯：

a few; a small table; how many; nearly; several

裡的英語翻譯：

inner; liner; lining; neighbourhood
【法】 knot; sea mile

得的英語翻譯：

gain; get; need; obtain; fit; ready for

算法的英語翻譯：

algorithm; arithmetic
【計】 ALG; algorithm; D-algorithm; Roth's D-algorithm
【化】 algorithm
【經】 algorithm

專業解析

歐幾裡得算法（Euclidean Algorithm）的漢英雙解釋義

歐幾裡得算法（英語：Euclidean Algorithm）是一種用于計算兩個非負整數最大公約數（Greatest Common Divisor, GCD）的高效方法，其核心思想基于“輾轉相除”的數學原理。該算法由古希臘數學家歐幾裡得（Euclid）在《幾何原本》（Elements）第七卷中首次系統闡述，是數論和計算機科學中的基礎工具。

1. 定義與數學表達

中文：歐幾裡得算法通過反複用較大數除以較小數，并用餘數替換較大數，直到餘數為零，此時的非零除數即為兩數的最大公約數。
英文：The Euclidean Algorithm iteratively divides the larger number by the smaller one, replaces the larger number with the remainder, and continues until the remainder is zero. The last non-zero remainder is the GCD.

數學表達式為： $$ begin{aligned} gcd(a, b) &= gcd(b, a bmod b) quad text{（遞歸形式）}, a &geq b > 0. end{aligned} $$

2. 算法步驟示例

以計算 $gcd(48, 18)$ 為例：

$48 div 18 = 2$，餘數為 $12$；
$18 div 12 = 1$，餘數為 $6$；
$12 div 6 = 2$，餘數為 $0$；
餘數為零時，當前除數 $6$ 即為最大公約數。

3. 應用場景

密碼學：用于RSA加密算法中的密鑰生成；
計算機科學：簡化分數運算、解決線性同餘方程；
工程數學：優化信號處理中的周期分析。

4. 曆史與權威參考

歐幾裡得算法是現存最古老的完整算法之一，其原始描述可見于《幾何原本》（來源：大英百科全書）。現代數學教育中，斯坦福大學《數論導論》等教材均将其列為必學内容。算法的時間複雜度為 $O(log n)$，效率遠高于窮舉法。

網絡擴展解釋

歐幾裡得算法（Euclidean Algorithm）是一種用于計算兩個整數的最大公約數（GCD）的高效方法。其核心思想基于以下數學原理：
兩個數的最大公約數等于其中較小數與兩數相除餘數的最大公約數。這一過程通過重複的除法運算逐步縮小問題規模，直至餘數為零。

算法步驟

輸入兩個正整數 (a) 和 (b)（假設 (a > b)）。
用 (a) 除以 (b)，得到商 (q) 和餘數 (r)，即： $$ a = b times q + r $$
若餘數 (r = 0)，則 (b) 即為最大公約數。
若餘數 (r eq 0)，則用 (b) 替換 (a)，用 (r) 替換 (b)，重複上述步驟。

示例

以計算 (56) 和 (98) 的最大公約數為例：

(98 div 56 = 1) 餘 (42) → 轉為計算 (56) 和 (42)；
(56 div 42 = 1) 餘 (14) → 轉為計算 (42) 和 (14)；
(42 div 14 = 3) 餘 (0) →GCD 為 (14)。

數學原理與正确性

遞推性：若 (d) 是 (a) 和 (b) 的公約數，則 (d) 也是 (b) 和 (r) 的公約數（根據 (a = bq + r)）。
終止條件：餘數序列嚴格遞減，最終必為 (0)，此時最後一個非零餘數即為 GCD。

應用場景

簡化分數：如将 (frac{12}{18}) 簡化為 (frac{2}{3})（GCD 為 (6)）。
密碼學：RSA 算法中生成密鑰時需計算模逆元。
數論問題：判斷兩數是否互質（GCD 為 (1)）。

擴展：算法效率

時間複雜度：約為 (O(log min(a, b)))，遠優于暴力枚舉法。
實現方式：可通過遞歸或疊代編寫代碼，例如：
```
def gcd(a, b):
return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
```

該算法由古希臘數學家歐幾裡得在《幾何原本》中首次系統描述，至今仍是計算最大公約數的标準方法。