欧几里得算法英文解释翻译、欧几里得算法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Euclidean algorithm

分词翻译：

欧的英语翻译：

【医】 ohm

几的英语翻译：

a few; a small table; how many; nearly; several

里的英语翻译：

inner; liner; lining; neighbourhood
【法】 knot; sea mile

得的英语翻译：

gain; get; need; obtain; fit; ready for

算法的英语翻译：

algorithm; arithmetic
【计】 ALG; algorithm; D-algorithm; Roth's D-algorithm
【化】 algorithm
【经】 algorithm

专业解析

欧几里得算法（Euclidean Algorithm）的汉英双解释义

欧几里得算法（英语：Euclidean Algorithm）是一种用于计算两个非负整数最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的高效方法，其核心思想基于“辗转相除”的数学原理。该算法由古希腊数学家欧几里得（Euclid）在《几何原本》（Elements）第七卷中首次系统阐述，是数论和计算机科学中的基础工具。

1. 定义与数学表达

中文：欧几里得算法通过反复用较大数除以较小数，并用余数替换较大数，直到余数为零，此时的非零除数即为两数的最大公约数。
英文：The Euclidean Algorithm iteratively divides the larger number by the smaller one, replaces the larger number with the remainder, and continues until the remainder is zero. The last non-zero remainder is the GCD.

数学表达式为： $$ begin{aligned} gcd(a, b) &= gcd(b, a bmod b) quad text{（递归形式）}, a &geq b > 0. end{aligned} $$

2. 算法步骤示例

以计算 $gcd(48, 18)$ 为例：

$48 div 18 = 2$，余数为 $12$；
$18 div 12 = 1$，余数为 $6$；
$12 div 6 = 2$，余数为 $0$；
余数为零时，当前除数 $6$ 即为最大公约数。

3. 应用场景

密码学：用于RSA加密算法中的密钥生成；
计算机科学：简化分数运算、解决线性同余方程；
工程数学：优化信号处理中的周期分析。

4. 历史与权威参考

欧几里得算法是现存最古老的完整算法之一，其原始描述可见于《几何原本》（来源：大英百科全书）。现代数学教育中，斯坦福大学《数论导论》等教材均将其列为必学内容。算法的时间复杂度为 $O(log n)$，效率远高于穷举法。

网络扩展解释

欧几里得算法（Euclidean Algorithm）是一种用于计算两个整数的最大公约数（GCD）的高效方法。其核心思想基于以下数学原理：
两个数的最大公约数等于其中较小数与两数相除余数的最大公约数。这一过程通过重复的除法运算逐步缩小问题规模，直至余数为零。

算法步骤

输入两个正整数 (a) 和 (b)（假设 (a > b)）。
用 (a) 除以 (b)，得到商 (q) 和余数 (r)，即： $$ a = b times q + r $$
若余数 (r = 0)，则 (b) 即为最大公约数。
若余数 (r eq 0)，则用 (b) 替换 (a)，用 (r) 替换 (b)，重复上述步骤。

示例

以计算 (56) 和 (98) 的最大公约数为例：

(98 div 56 = 1) 余 (42) → 转为计算 (56) 和 (42)；
(56 div 42 = 1) 余 (14) → 转为计算 (42) 和 (14)；
(42 div 14 = 3) 余 (0) →GCD 为 (14)。

数学原理与正确性

递推性：若 (d) 是 (a) 和 (b) 的公约数，则 (d) 也是 (b) 和 (r) 的公约数（根据 (a = bq + r)）。
终止条件：余数序列严格递减，最终必为 (0)，此时最后一个非零余数即为 GCD。

应用场景

简化分数：如将 (frac{12}{18}) 简化为 (frac{2}{3})（GCD 为 (6)）。
密码学：RSA 算法中生成密钥时需计算模逆元。
数论问题：判断两数是否互质（GCD 为 (1)）。

扩展：算法效率

时间复杂度：约为 (O(log min(a, b)))，远优于暴力枚举法。
实现方式：可通过递归或迭代编写代码，例如：
```
def gcd(a, b):
return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
```

该算法由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次系统描述，至今仍是计算最大公约数的标准方法。