母函數英文解釋翻譯、母函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generating function; generation function

female; mother; nut; origin; venter
【醫】 mother

function
【計】 F; FUNC; function

母函數（generating function）是組合數學與離散數學中用于研究數列性質的核心工具，其英文對應術語為“generating function”。它通過将數列的項作為形式幂級數的系數，将離散序列轉化為連續函數，從而利用解析方法揭示數列的隱藏規律。根據應用場景不同，母函數可分為以下兩類：

普通母函數（Ordinary Generating Function, OGF）
定義為 $G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n$，常用于解決整數分拆、組合計數等問題。例如，斐波那契數列的母函數為 $frac{x}{1-x-x}$。
指數母函數（Exponential Generating Function, EGF）
形式為 $E(an; x) = sum{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n$，多應用于排列、标號結構等涉及階乘增長的問題，如排列數的指數母函數為 $e^{x}$。

母函數在算法分析、概率論及統計物理中均有重要應用。例如，在概率論中，母函數可導出隨機變量的各階矩；在組合優化中，其系數提取技術可轉化為動态規劃的高效解法（參考《具體數學》第7章。權威數學資源如Khan Academy與MIT OpenCourseWare均收錄了母函數的系統性教學案例。

母函數（Generating Function），又稱生成函數，是數學中一種将數列轉換為多項式或幂級數的工具，用于簡化數列的運算、求解遞推關系或分析組合問題。其核心思想是将數列的每一項作為系數嵌入一個形式幂級數中，從而通過代數操作揭示數列的規律性。

對于數列 ( {a_n} = a_0, a_1, a2, dots )，其普通母函數定義為： $$ G(x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n $$ 母函數不關注級數的收斂性，僅作為形式上的表達式使用。

普通母函數（OGF）
用于組合計數問題，例如：
- 數列 (1, 1, 1, dots) 的母函數為 ( frac{1}{1-x} )；
- 二項式系數 ( binom{n}{k} ) 的母函數為 ( (1+x)^n )。
指數母函數（EGF）
用于排列問題，形式為： $$ E(x) = sum_{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n $$ 例如：排列數 ( n! ) 的EGF為 ( frac{1}{1-x} )。
其他類型
如泊松母函數、拉普拉斯母函數等，適用于概率論或特殊數列。

求解遞推關系
例如斐波那契數列 ( Fn = F{n-1} + F_{n-2} )，通過母函數可導出閉式解： $$ F(x) = frac{x}{1-x-x} quad Rightarrow quad F_n = frac{phi^n - psi^n}{sqrt{5}} quad (phi, psi為黃金分割比) $$
組合計數
母函數可将複雜組合問題轉化為多項式乘法。例如，用 ( (1+x)^n ) 展開式中的系數表示從 ( n ) 個物品中選 ( k ) 個的方案數。
證明恒等式
如通過比較母函數系數證明組合恒等式 ( sum_{k=0}^n binom{n}{k} = binom{2n}{n} )。

問題：求正整數分拆為不同整數之方案數。
解法：構造母函數 ( (1+x)(1+x)(1+x)cdots )，其展開式中 ( x^n ) 的系數即為答案。

母函數通過形式化操作将複雜問題轉化為代數運算，是組合數學、離散動力系統等領域的重要工具。