母函数英文解释翻译、母函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generating function; generation function

female; mother; nut; origin; venter
【医】 mother

function
【计】 F; FUNC; function

母函数（generating function）是组合数学与离散数学中用于研究数列性质的核心工具，其英文对应术语为“generating function”。它通过将数列的项作为形式幂级数的系数，将离散序列转化为连续函数，从而利用解析方法揭示数列的隐藏规律。根据应用场景不同，母函数可分为以下两类：

普通母函数（Ordinary Generating Function, OGF）
定义为 $G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n$，常用于解决整数分拆、组合计数等问题。例如，斐波那契数列的母函数为 $frac{x}{1-x-x}$。
指数母函数（Exponential Generating Function, EGF）
形式为 $E(an; x) = sum{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n$，多应用于排列、标号结构等涉及阶乘增长的问题，如排列数的指数母函数为 $e^{x}$。

母函数在算法分析、概率论及统计物理中均有重要应用。例如，在概率论中，母函数可导出随机变量的各阶矩；在组合优化中，其系数提取技术可转化为动态规划的高效解法（参考《具体数学》第7章。权威数学资源如Khan Academy与MIT OpenCourseWare均收录了母函数的系统性教学案例。

母函数（Generating Function），又称生成函数，是数学中一种将数列转换为多项式或幂级数的工具，用于简化数列的运算、求解递推关系或分析组合问题。其核心思想是将数列的每一项作为系数嵌入一个形式幂级数中，从而通过代数操作揭示数列的规律性。

对于数列 ( {a_n} = a_0, a_1, a2, dots )，其普通母函数定义为： $$ G(x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n $$ 母函数不关注级数的收敛性，仅作为形式上的表达式使用。

普通母函数（OGF）
用于组合计数问题，例如：
- 数列 (1, 1, 1, dots) 的母函数为 ( frac{1}{1-x} )；
- 二项式系数 ( binom{n}{k} ) 的母函数为 ( (1+x)^n )。
指数母函数（EGF）
用于排列问题，形式为： $$ E(x) = sum_{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n $$ 例如：排列数 ( n! ) 的EGF为 ( frac{1}{1-x} )。
其他类型
如泊松母函数、拉普拉斯母函数等，适用于概率论或特殊数列。

求解递推关系
例如斐波那契数列 ( Fn = F{n-1} + F_{n-2} )，通过母函数可导出闭式解： $$ F(x) = frac{x}{1-x-x} quad Rightarrow quad F_n = frac{phi^n - psi^n}{sqrt{5}} quad (phi, psi为黄金分割比) $$
组合计数
母函数可将复杂组合问题转化为多项式乘法。例如，用 ( (1+x)^n ) 展开式中的系数表示从 ( n ) 个物品中选 ( k ) 个的方案数。
证明恒等式
如通过比较母函数系数证明组合恒等式 ( sum_{k=0}^n binom{n}{k} = binom{2n}{n} )。

问题：求正整数分拆为不同整数之方案数。
解法：构造母函数 ( (1+x)(1+x)(1+x)cdots )，其展开式中 ( x^n ) 的系数即为答案。

母函数通过形式化操作将复杂问题转化为代数运算，是组合数学、离散动力系统等领域的重要工具。