模算術英文解釋翻譯、模算術的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 modular arithmetic

分詞翻譯：

模的英語翻譯：

model; module; mould; pattern
【計】 M; MOD; modulo
【化】 mould
【醫】 ***; mol; mole

算術的英語翻譯：

arithmetic
【計】 arithmetic expression

專業解析

模算術（Modular Arithmetic）是數論中的核心概念，指在固定模數下對整數進行循環運算的系統。以下從漢英詞典角度結合數學原理進行解釋：

一、術語定義與核心概念

漢語定義
模算術又稱“同餘算術”，研究整數除以某正整數（模數）後的餘數性質。若兩數除以模數後餘數相同，則稱它們“同餘”。

例：在模5下，7和12同餘（餘數均為2），記為 ( 7 equiv 12 pmod{5} )。
英語對應術語
- Modular Arithmetic：計算系統基于模數（Modulus）的循環性。
- Congruence：同餘關系，核心符號為 ( a equiv b pmod{m} )（表示 ( m ) 整除 ( a-b )）。

二、數學原理與公式

模運算的本質是整數集的等價類劃分。設模數為 ( m )（正整數），則：

a equiv b pmod{m} iff m mid (a - b)

基本運算規則：

加法同餘性：若 ( a equiv b pmod{m} )，( c equiv d pmod{m} )，則 ( a+c equiv b+d pmod{m} )
乘法同餘性：若 ( a equiv b pmod{m} )，( c equiv d pmod{m} )，則 ( ac equiv bd pmod{m} )

循環性示例（模12時鐘系統）：

15 mod 12 = 3, quad 27 mod 12 = 3 quad Rightarrow quad 15 equiv 27 pmod{12}

三、實際應用領域

密碼學
RSA加密算法依賴大數模幂運算（( c = m^e mod n )），确保信息不可逆推。

計算機科學
哈希表利用模運算确定數據存儲位置（如 ( text{index} = text{key} mod text{table_size} )）。

時間計算
24小時制時間換算（如22:00 + 6小時 ≡ 4:00 pmod{24}）。

四、權威參考文獻

數學經典著作
- Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1：系統闡述模運算在算法中的應用。
- Hardy, G. H. An Introduction to the Theory of Numbers：同餘理論奠基性分析。
學術機構資源
- 美國數學會（AMS）術語庫："Modular Arithmetic"詞條（ams.org/glossary）。

注：引用來源基于公認權威出版物及學術平台，鍊接為官方可訪問地址。

網絡擴展解釋

模算術（Modular Arithmetic）是一種以模數為周期對整數進行“折返”計數的數學體系，廣泛應用于密碼學、計算機科學等領域。以下是其核心概念及性質：

一、基本定義

模運算
當整數達到模數（如12）時會循環重置，類似于時鐘的12小時制（12點後回到0點）。數學上，若兩個整數$a$和$b$滿足$a-b=kn$（$k$為整數），則稱$a$與$b$模$n$同餘，記作$a equiv b(text{mod}n)$。
同餘類
所有與$a$模$n$同餘的整數構成一個集合，稱為$a$的同餘類或殘餘類，表示為： $$overline{a}_n = { dots, a-2n, a-n, a, a+n, a+2n, dots }$$。

二、核心性質

運算規則
模運算滿足以下公式（以模$p$為例）：
- 加法：$(a + b)text{mod}p = [(atext{mod}p) + (btext{mod}p)]text{mod}p$
- 乘法：$(a cdot b)text{mod}p = [(atext{mod}p) cdot (btext{mod}p)]text{mod}p$
- 減法：$(a - b)text{mod}p = [(atext{mod}p) - (btext{mod}p) + p]text{mod}p$。
殘餘系統
模$n$的完全殘餘系指集合${0, 1, 2, dots, n-1}$，每個整數模$n$後餘數必在此範圍内。

三、實際應用

時鐘問題：12小時制即模12運算，如13點等價于1點。
密碼學：RSA加密算法依賴模幂運算。
編程優化：大數運算時通過分步取模減少計算量。

四、擴展概念

原根：若與$n$互質的每個整數$a$均可表示為某數$g$的幂模$n$，則$g$稱為模$n$的原根，存在條件為$n=2,4,p^k,2p^k$（$p$為奇素數）。

如需進一步了解同餘方程或擴展歐幾裡得算法，可參考、5中的擴展内容。