并集公理英文解釋翻譯、并集公理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 axiom of union

分詞翻譯：

并集的英語翻譯：

【計】 union set

公理的英語翻譯：

axiom; generally acknowledged truth
【計】 Armstrong

專業解析

在集合論中，并集公理（英文：Axiom of Union）是策梅洛-弗蘭克爾集合論（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF）公理系統中的一條基礎公理。它保證了對于任意給定的集合，都存在一個集合包含且僅包含該集合所有元素的元素。

詳細解釋：

核心含義：
- 設有一個集合 ( A )。集合 ( A ) 本身包含若幹元素，這些元素本身也是集合（在 ZF 公理體系中，所有對象都是集合）。
- 并集公理斷言：存在另一個集合 ( B )，使得 ( B ) 恰好包含所有屬于 ( A ) 中某個元素的元素。
- 換句話說，( B ) 是 ( A ) 中所有元素的并集（Union）。記作： $$ B = bigcup A $$
- 集合 ( B ) 的元素 ( x ) 滿足的條件是：存在某個集合 ( Y in A )，使得 ( x in Y )。用邏輯符號表示為： $$ forall A exists B forall x (x in B leftrightarrow exists Y (Y in A land x in Y)) $$
直觀理解：
- 想象 ( A ) 是一個“容器”，裡面裝着若幹個“袋子”（即 ( A ) 的元素，這些袋子本身也是集合）。
- 并集公理保證了存在一個“大袋子” ( B )，這個大袋子裡面裝的東西，就是把 ( A ) 裡面所有小袋子裡的東西全部倒出來放在一起的結果。
- 例如，如果 ( A = { {1, 2}, {2, 3, 4} } )，那麼根據并集公理，存在集合 ( B = bigcup A = {1, 2, 3, 4} )。
在 ZF 公理系統中的作用：
- 構造并集：這是公理最直接的作用，它允許我們定義任意集合族（以集合形式給出的多個集合的彙集）的并集。
- 基礎構造塊：并集是構造更複雜集合（如序對、關系、函數等）的基本操作之一。例如，兩個集合 ( X ) 和 ( Y ) 的并集 ( X cup Y ) 可以通過并集公理構造出來（先形成配對集合 ( {X, Y} )，再取其并集 ( bigcup {X, Y} )）。
- 确保集合存在：它保證了由已知集合的元素“收集”起來形成的新集合是存在的，并且是合法的集合（屬于論域）。
曆史背景：
- 并集公理最早由恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在他 1908 年提出的第一個公理化集合論系統中引入。這個系統是現代 ZF 公理系統的基礎。該公理旨在克服早期樸素集合論（如康托爾的集合論）中因無限制的概括原則（Comprehension Principle）所導緻的悖論（如羅素悖論），通過明确規定哪些集合構造操作是允許的來限制集合的形成。

引用參考：

Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) - Zermelo-Fraenkel Set Theory：該條目權威地介紹了 ZF 公理系統，包括并集公理的定義、形式化表述及其在系統中的作用和重要性。來源：https://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ZF.html
Wolfram MathWorld - Axiom of Union：該數學百科提供了對并集公理的簡明定義、形式化描述和簡要說明。來源：https://mathworld.wolfram.com/AxiomofUnion.html

網絡擴展解釋

并集公理是集合論（尤其是ZFC公理系統）中的一條基礎公理，用于确保多個集合的并集仍然是一個集合。以下是詳細解釋：

1. 公理内容

形式化表述：
對于任意集合( A )，存在一個集合( B )，使得( B )中的元素恰好屬于( A )中至少一個集合的成員。即：
$$ forall A , exists B , forall x left( x in B leftrightarrow exists C in A , (x in C) right) $$
此時，( B )稱為( A )的并集，記作( bigcup A )。

2. 直觀理解

若( A = { {1,2}, {3,4} } )，則并集公理保證存在集合( bigcup A = {1,2,3,4} )。
該公理允許将多個集合的“所有元素合并”為一個新集合，避免因無限合并導緻邏輯矛盾（如羅素悖論）。

3. 與其他公理的關系

配對公理：若存在集合( a, b )，配對公理可構造( {a, b} )，并集公理則進一步生成( a cup b )。
幂集公理：并集公理關注元素的“橫向合并”，而幂集公理關注子集的“縱向構造”。

4. 重要性

避免類（Class）的濫用：若無此公理，某些并集可能成為“類”（如所有集合的類），但公理将其限制為合法集合。
數學應用基礎：例如拓撲學中開集的并集仍為開集，需依賴此公理保證合法性。

5. 示例擴展

若( A = { mathbb{N}, mathbb{Z} } )（自然數集和整數集），則( bigcup A = mathbb{Z} )，因為整數集已包含自然數。此例說明并集可能“吸收”較小集合。

并集公理是集合論中确保集合操作封閉性的關鍵工具，通過形式化規則避免了邏輯矛盾，并為數學對象的構造提供基礎。