并集公理英文解释翻译、并集公理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 axiom of union

分词翻译：

并集的英语翻译：

【计】 union set

公理的英语翻译：

axiom; generally acknowledged truth
【计】 Armstrong

专业解析

在集合论中，并集公理（英文：Axiom of Union）是策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF）公理系统中的一条基础公理。它保证了对于任意给定的集合，都存在一个集合包含且仅包含该集合所有元素的元素。

详细解释：

核心含义：
- 设有一个集合 ( A )。集合 ( A ) 本身包含若干元素，这些元素本身也是集合（在 ZF 公理体系中，所有对象都是集合）。
- 并集公理断言：存在另一个集合 ( B )，使得 ( B ) 恰好包含所有属于 ( A ) 中某个元素的元素。
- 换句话说，( B ) 是 ( A ) 中所有元素的并集（Union）。记作： $$ B = bigcup A $$
- 集合 ( B ) 的元素 ( x ) 满足的条件是：存在某个集合 ( Y in A )，使得 ( x in Y )。用逻辑符号表示为： $$ forall A exists B forall x (x in B leftrightarrow exists Y (Y in A land x in Y)) $$
直观理解：
- 想象 ( A ) 是一个“容器”，里面装着若干个“袋子”（即 ( A ) 的元素，这些袋子本身也是集合）。
- 并集公理保证了存在一个“大袋子” ( B )，这个大袋子里面装的东西，就是把 ( A ) 里面所有小袋子里的东西全部倒出来放在一起的结果。
- 例如，如果 ( A = { {1, 2}, {2, 3, 4} } )，那么根据并集公理，存在集合 ( B = bigcup A = {1, 2, 3, 4} )。
在 ZF 公理系统中的作用：
- 构造并集：这是公理最直接的作用，它允许我们定义任意集合族（以集合形式给出的多个集合的汇集）的并集。
- 基础构造块：并集是构造更复杂集合（如序对、关系、函数等）的基本操作之一。例如，两个集合 ( X ) 和 ( Y ) 的并集 ( X cup Y ) 可以通过并集公理构造出来（先形成配对集合 ( {X, Y} )，再取其并集 ( bigcup {X, Y} )）。
- 确保集合存在：它保证了由已知集合的元素“收集”起来形成的新集合是存在的，并且是合法的集合（属于论域）。
历史背景：
- 并集公理最早由恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在他 1908 年提出的第一个公理化集合论系统中引入。这个系统是现代 ZF 公理系统的基础。该公理旨在克服早期朴素集合论（如康托尔的集合论）中因无限制的概括原则（Comprehension Principle）所导致的悖论（如罗素悖论），通过明确规定哪些集合构造操作是允许的来限制集合的形成。

引用参考：

Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) - Zermelo-Fraenkel Set Theory：该条目权威地介绍了 ZF 公理系统，包括并集公理的定义、形式化表述及其在系统中的作用和重要性。来源：https://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ZF.html
Wolfram MathWorld - Axiom of Union：该数学百科提供了对并集公理的简明定义、形式化描述和简要说明。来源：https://mathworld.wolfram.com/AxiomofUnion.html

网络扩展解释

并集公理是集合论（尤其是ZFC公理系统）中的一条基础公理，用于确保多个集合的并集仍然是一个集合。以下是详细解释：

1. 公理内容

形式化表述：
对于任意集合( A )，存在一个集合( B )，使得( B )中的元素恰好属于( A )中至少一个集合的成员。即：
$$ forall A , exists B , forall x left( x in B leftrightarrow exists C in A , (x in C) right) $$
此时，( B )称为( A )的并集，记作( bigcup A )。

2. 直观理解

若( A = { {1,2}, {3,4} } )，则并集公理保证存在集合( bigcup A = {1,2,3,4} )。
该公理允许将多个集合的“所有元素合并”为一个新集合，避免因无限合并导致逻辑矛盾（如罗素悖论）。

3. 与其他公理的关系

配对公理：若存在集合( a, b )，配对公理可构造( {a, b} )，并集公理则进一步生成( a cup b )。
幂集公理：并集公理关注元素的“横向合并”，而幂集公理关注子集的“纵向构造”。

4. 重要性

避免类（Class）的滥用：若无此公理，某些并集可能成为“类”（如所有集合的类），但公理将其限制为合法集合。
数学应用基础：例如拓扑学中开集的并集仍为开集，需依赖此公理保证合法性。

5. 示例扩展

若( A = { mathbb{N}, mathbb{Z} } )（自然数集和整数集），则( bigcup A = mathbb{Z} )，因为整数集已包含自然数。此例说明并集可能“吸收”较小集合。

并集公理是集合论中确保集合操作封闭性的关键工具，通过形式化规则避免了逻辑矛盾，并为数学对象的构造提供基础。