連續可微函數英文解釋翻譯、連續可微函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 continuously-differentiable function

分詞翻譯：

連續的英語翻譯：

sequence; progression; concatenation; continuum; run; series
【醫】 continuation; continuity; per continuum
【經】 continuation

可微函數的英語翻譯：

【計】 differentiable function

專業解析

連續可微函數（Continuously Differentiable Function）是數學分析中的核心概念，指一個函數在其定義域内不僅可導，且其導函數本身也是連續的。這類函數屬于C¹類函數，在工程、物理學和優化問題中具有廣泛應用。

定義與數學表示

若函數$f(x)$在區間$(a,b)$内每一點$x_0$處均可導，且其導數$f'(x)$在區間内連續，則稱$f(x)$為連續可微函數。數學上可表述為： $$ f in C(a,b) quad text{當且僅當} quad f'(x) text{ 存在且連續} $$

核心性質

局部光滑性：連續可微函數的圖像無尖點或突變，呈現平滑過渡。
中間值定理適用性：導數$f'(x)$滿足中間值定理，即若$f'(a) < k < f'(b)$，則存在$c in (a,b)$使得$f'(c)=k$。
泰勒展開基礎：此類函數可用一階泰勒多項式局部近似，誤差隨高階無窮小量衰減。

應用領域

物理建模：如經典力學中物體的連續運動軌迹描述。
控制系統：動态系統狀态方程需滿足連續可微性以保證解的存在唯一性。
經濟優化：生産函數與效用函數通常要求C¹連續性以進行邊際分析。

參考文獻

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill (1976)
MIT OpenCourseWare, 18.01 Single Variable Calculus Lecture Notes
Thomas' Calculus, 14th Edition, Pearson (2018)

網絡擴展解釋

連續可微函數是數學分析中的一個重要概念，指函數不僅可導，且其導數在整個定義域内連續。以下是詳細解釋：

1.定義

若函數 ( f(x) ) 在區間 ( I ) 上滿足：
1. 可導性：( f'(x) ) 在區間内每一點都存在；
2. 導數連續：( f'(x) ) 在區間内連續；則稱 ( f(x) ) 是連續可微函數（屬于 ( C ) 類函數）。

2.直觀理解

連續可微意味着函數不僅“光滑”，且其斜率變化也是平滑的，沒有突變或跳躍。例如：

多項式函數（如 ( f(x)=x+2x )）：導數 ( f'(x)=3x+2 ) 是連續的。
指數函數（如 ( f(x)=e^x )）：導數 ( f'(x)=e^x ) 連續。
三角函數（如 ( f(x)=sin x )）：導數 ( f'(x)=cos x ) 連續。

3.與“可微”的區别

僅可微：導數存在，但可能不連續。例如： [ f(x) = begin{cases} x sinleft(frac{1}{x}right) & x eq 0 0 & x = 0 end{cases} ] 該函數在 ( x=0 ) 處可導（導數為 ( 0 )），但導數在 ( x to 0 ) 時震蕩不收斂，因此導數不連續。
連續可微：導數存在且連續，排除了上述“震蕩不連續”的情況。

4.應用與重要性

物理學與工程學：連續可微函數常用于描述平滑的運動軌迹或連續變化的物理量（如速度、溫度分布）。
數學定理的前提條件：如泰勒展開、格林公式等，常要求函數連續可微以保證結論成立。
優化問題：連續導數便于使用梯度下降法等數值方法。

5.擴展：高階連續可微

若函數的 ( n ) 階導數存在且連續，則稱其為 ( C^n ) 類函數。例如：

( C ) 函數：二階導數連續（如 ( f(x)=cos x )，其二階導數 ( -cos x ) 連續）。

連續可微函數在理論和應用中均扮演關鍵角色，既保證了光滑性，又為數學工具的使用提供了基礎條件。