交換群英文解釋翻譯、交換群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

Abelian group
【計】 commutative group

分詞翻譯：

交換的英語翻譯：

exchange; interchange; change for; commute; permutation; reciprocation
replacement
【計】 exchange; swap; swapping; switching; transput; X
【醫】 chiasmapy; cross-over; crossing-over
【經】 interchange; swap

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

交換群（Abelian Group）是抽象代數中的核心概念，指滿足交換律的群結構。其數學定義為：若群$(G, cdot)$中任意元素$a,b in G$滿足

a cdot b = b cdot a

則稱該群為交換群或阿貝爾群。這一性質使得交換群在數學分析、數論和拓撲學等領域具有廣泛應用。

關鍵特征

漢英術語對照
中文術語"交換群"對應英文"abelian group"，源自數學家Niels Henrik Abel對多項式方程可解性的研究。
基本性質
所有循環群均為交換群，例如整數集$mathbb{Z}$在加法運算下構成的群。但非循環交換群同樣存在，如克萊因四元群。
分類标準
根據有限生成交換群基本定理，任意有限生成交換群均可分解為循環群的直積，該定理為群結構分析提供了框架。

典型應用

數論：橢圓曲線有理點集構成交換群（Mordell-Weil定理）
拓撲學：同調群均為交換群（Hatcher, Algebraic Topology）
量子力學：規範對稱性常通過交換群描述（U(1)對稱群）

權威參考文獻

Hungerford, T. Algebra. Springer, 1974（群公理系統定義）
Artin, M. Algebra. Prentice Hall, 1991（有限阿貝爾群分類）
Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician. Springer, 1998（範疇論視角下的交換群）

網絡擴展解釋

交換群（又稱阿貝爾群）是代數學中一類重要的群，其核心特征是群運算滿足交換律。以下是詳細解釋：

1.定義

交換群是滿足以下條件的群：

封閉性：對任意元素 (a, b in G)，運算結果 (a*b) 仍屬于 (G)。
結合律：( (ab)c = a(bc) )。
單位元存在：存在元素 (e in G)，使得 (ae = ea = a)。
逆元存在：對任意 (a in G)，存在 (a^{-1} in G)，使得 (a*a^{-1} = e)。
交換律：對任意 (a, b in G)，有 (ab = ba)。

2.性質與表示

加法表示：交換群常用加法符號表示，此時單位元記為 (0)，元素 (a) 的逆元記為 (-a)（稱為負元）。
運算無關次序：因滿足交換律和結合律，元素乘積與運算順序無關。
循環群必為交換群：所有循環群（如整數加法群 (mathbb{Z})）均屬于交換群。

3.例子

整數加法群：((mathbb{Z}, +)) 是典型的交換群，滿足 (a + b = b + a)。
實數加法群：((mathbb{R}, +)) 同理。
二次方程根對稱性：若群中每個元素 (x) 滿足 (x = e)（如二元群），則該群為交換群。

4.命名與意義

為紀念挪威數學家阿貝爾（N.H. Abel）而命名，他在研究高次方程時首次應用了有限交換群。
交換群是模、向量空間等代數結構的基礎研究對象。

5.與非交換群的區别

非交換群（如矩陣乘法群）不滿足交換律，例如 (AB eq BA)（(A, B) 為矩陣）。

如需進一步了解定理（如“指數為2的群必為交換群”）或具體應用，可參考學術文獻。