交换群英文解释翻译、交换群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

Abelian group
【计】 commutative group

分词翻译：

交换的英语翻译：

exchange; interchange; change for; commute; permutation; reciprocation
replacement
【计】 exchange; swap; swapping; switching; transput; X
【医】 chiasmapy; cross-over; crossing-over
【经】 interchange; swap

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

交换群（Abelian Group）是抽象代数中的核心概念，指满足交换律的群结构。其数学定义为：若群$(G, cdot)$中任意元素$a,b in G$满足

a cdot b = b cdot a

则称该群为交换群或阿贝尔群。这一性质使得交换群在数学分析、数论和拓扑学等领域具有广泛应用。

关键特征

汉英术语对照
中文术语"交换群"对应英文"abelian group"，源自数学家Niels Henrik Abel对多项式方程可解性的研究。
基本性质
所有循环群均为交换群，例如整数集$mathbb{Z}$在加法运算下构成的群。但非循环交换群同样存在，如克莱因四元群。
分类标准
根据有限生成交换群基本定理，任意有限生成交换群均可分解为循环群的直积，该定理为群结构分析提供了框架。

典型应用

数论：椭圆曲线有理点集构成交换群（Mordell-Weil定理）
拓扑学：同调群均为交换群（Hatcher, Algebraic Topology）
量子力学：规范对称性常通过交换群描述（U(1)对称群）

权威参考文献

Hungerford, T. Algebra. Springer, 1974（群公理系统定义）
Artin, M. Algebra. Prentice Hall, 1991（有限阿贝尔群分类）
Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician. Springer, 1998（范畴论视角下的交换群）

网络扩展解释

交换群（又称阿贝尔群）是代数学中一类重要的群，其核心特征是群运算满足交换律。以下是详细解释：

1.定义

交换群是满足以下条件的群：

封闭性：对任意元素 (a, b in G)，运算结果 (a*b) 仍属于 (G)。
结合律：( (ab)c = a(bc) )。
单位元存在：存在元素 (e in G)，使得 (ae = ea = a)。
逆元存在：对任意 (a in G)，存在 (a^{-1} in G)，使得 (a*a^{-1} = e)。
交换律：对任意 (a, b in G)，有 (ab = ba)。

2.性质与表示

加法表示：交换群常用加法符号表示，此时单位元记为 (0)，元素 (a) 的逆元记为 (-a)（称为负元）。
运算无关次序：因满足交换律和结合律，元素乘积与运算顺序无关。
循环群必为交换群：所有循环群（如整数加法群 (mathbb{Z})）均属于交换群。

3.例子

整数加法群：((mathbb{Z}, +)) 是典型的交换群，满足 (a + b = b + a)。
实数加法群：((mathbb{R}, +)) 同理。
二次方程根对称性：若群中每个元素 (x) 满足 (x = e)（如二元群），则该群为交换群。

4.命名与意义

为纪念挪威数学家阿贝尔（N.H. Abel）而命名，他在研究高次方程时首次应用了有限交换群。
交换群是模、向量空间等代数结构的基础研究对象。

5.与非交换群的区别

非交换群（如矩阵乘法群）不满足交换律，例如 (AB eq BA)（(A, B) 为矩阵）。

如需进一步了解定理（如“指数为2的群必为交换群”）或具体应用，可参考学术文献。