恒等式英文解釋翻譯、恒等式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

identity

分詞翻譯：

恒的英語翻譯：

constant; lasting; permanent; usual

等式的英語翻譯：

equality; equation
【化】 equation

專業解析

在數學領域中，恒等式（identity equation）指兩端定義域内所有取值都相等的等式。根據《數學大辭典》定義，其英文對應術語為"identity"，強調無論變量如何替換，等式始終保持成立。例如代數基本定理中的歐拉公式： $$ e^{ipi} + 1 = 0 $$ 即屬于典型的恒等式，該公式由萊昂哈德·歐拉在1748年《無窮小分析引論》中首次系統闡述。與條件方程（conditional equation）不同，恒等式無需附加解題步驟驗證，其核心特征包含：

全域有效性：在定義域範圍内所有數值代入均成立
符號表達：常用三線等號"≡"表示，如多項式展開式$(a+b) equiv a+2ab+b$
學科應用：在抽象代數、三角函數、矩陣運算等領域均有重要應用，如三角恒等式$sinθ + cosθ equiv 1$被廣泛應用于物理學波動方程推導

美國數學協會（MAA）在《數學術語标準彙編》中指出，恒等式驗證需通過代數變形或數學歸納法完成，該性質使其成為證明數學命題的基礎工具。

網絡擴展解釋

恒等式是數學中一類特殊的等式，其特點在于無論變量取何值（在定義域範圍内），等式兩邊的表達式始終相等。以下是詳細解釋：

1. 定義與核心特征

定義：恒等式是形式上看似等式，但實際對所有變量取值均成立的數學關系。例如： $$(a + b) = a + 2ab + b$$ 無論(a)和(b)取何實數，等式均成立。
關鍵特征：
- 無條件成立：無需附加變量限制。
- 普遍適用性：適用于定義域内的所有可能取值。

2. 與方程的區别

方程：需要求解變量使等式成立（如(x + 3 = 5)的解為(x=2)）。
恒等式：無需求解，變量任意取值均成立（如(sinθ + cosθ = 1)對所有角度(θ)成立）。

3. 常見類型與示例

代數恒等式：
- 平方差公式：(a - b = (a + b)(a - b))
- 分配律：(a(b + c) = ab + ac)
三角恒等式：
- 畢達哥拉斯恒等式：(sinθ + cosθ = 1)
- 和角公式：(sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b)
指數與對數恒等式：
- 對數換底公式：(log_b a = frac{ln a}{ln b})
- 指數律：(a^{m} cdot a^{n} = a^{m+n})

4. 應用場景

簡化表達式：通過恒等式将複雜式子轉化為更易處理的形式。
證明數學定理：如利用三角恒等式推導其他公式。
方程求解：某些方程需借助恒等式化簡後才能解出。

5. 驗證方法

代數變形：通過展開、因式分解等操作使兩邊形式一緻。
數值代入：隨機選取變量值檢驗是否成立（需多次嘗試）。
函數圖像法：若兩邊圖像完全重合，則為恒等式。

總結來說，恒等式是數學中揭示變量間普遍關系的重要工具，其核心在于“恒等”特性，即不受變量具體取值影響。